六年级数学-一元一次方程应用进阶

第二课时一元一次方程应用进阶列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一，许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以能够列出方程解应用题是数学联系实际，解决实际问题的重要方法。而学好一元一次方程应用题，是学习二元一次方程应用的基础，能够很好的帮助解决日常生活中遇到的各类问题。初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系：1、行程问题（1）基本量及关系：速度×时间=路程，速度时间路程，时间速度路程（2）相遇问题、追及问题中的相等关系：各段路程之和=总路程（3）求“平均速度”的等量关系：来回的路程总和=平均速度×总时间（4）顺（逆）风（水）问题：顺速=静速＋（风）水流速度逆速=静速－（风）水流速度2、销售问题（1）单价×数量=总价（2）成本或进价、售价或实售价、利润或亏损额、利润率或困损率基本关系：利润=售价－进价，或利润=进价×利润率3、工效×时间=工作总量4、单产量×数量=总产量5、溶液×浓度=溶质，浓度=溶液溶质，浓度=溶剂溶质溶质6、本金×利率=利息7、日历：同一列中相邻的三个数依次差7，同一行中相邻的三个数依次差1。类型1：数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2N表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。例1.一个三位数，百位数字比个位数字小2，十位数字是百位数字与个位数字和的1/6。若去掉百位数字后剩下的二位数的19倍比这三位数小14.求这个三位数。等量关系：19×（去掉百位数字后剩下的二位数）=原三位数-14解：设个位数为x，则百位数为（x-2），十位数为1/6（x-2+x），列方程得：141026110021026119xxxxxxx解得，x=7，1/6（x-2+x）=2，x-2=5答：这个三位数是527。例2.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数解：设十位上的数字X，则个位上的数是2x，10×2x+x=（10x+2x）+36解得x=4，2x=8.答：略.类型2：劳力调配问题这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。例1.某工厂一车间有51名工人，一次接到加工两种轿车零件的生产任务。每个工人每天能加工甲种零件16个，或乙种零件21个。而一辆轿车只需甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人。等联关系：甲零件的3倍=乙零件的5倍解：设x个工人做甲零件，则有（51-x）个工人做乙零件，列方程得：55121316xx，解得，x=35，51-x=16.答：略。例2.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？等量关系：小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍解：设分别安排x名、（85-x）名工人加工大、小齿轮31621085()[()]xx4817002068170025xxxx8560x人答：略.类型3：工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。例：某项工作由甲单独做需24天完成，由乙单独做需16天完成。现在此项工作由甲先做1天，然后甲乙合作，中间甲又休息了1天，再工作时甲乙的工作效率都提高了20%，两人又工作了3天完成任务，求甲在第几天休息。分析：设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。解：设中间甲乙合作了x天，则甲在第（1+x+1）天休息，列方程得，131612412.111611612411241x，解得：x=5，1+x+1=7答：略。类型4：比例分配问题：这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和＝总量。例.三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？分析：等量关系：三个数的和是84解：设一份为x，则三个数分别为x，2x，4xxxxx248412答：略.类型5：浓度问题这一类问题要牢记公式：溶液×浓度=溶质，浓度=溶液溶质，浓度=溶剂溶质溶质常用的等量关系为：最后的溶液质量×最后的浓度=原本的溶质质量+后来加入的溶质质量例1：现有含盐20%的盐水500克，要把它稀释成含盐15%的盐水，应加入5%的盐水多少克？解：设要加入x克，列方程得，%5%20500%15500xx，解得，x=250（克）答：略。类型6：和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。例1.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到2000年11月1日0时，全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人，比1990年7月1日减少了3.66%，1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度？分析：等量关系为：1366%9062000111.年月底有的人数年月日人数解：设1990年6月底每10万人中约有x人具有小学文化程度(.1366%)35701xx37057答：略.类型7：储蓄问题⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）例.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析：等量关系：本息和=本金×（1+利率）解：设半年期的实际利率为x，250（1+x）=252.7，x=0.0108所以年利率为0.0108×2=0.0216类型8：利润赢亏问题（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（2）有关关系式：商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价商品利润率=商品利润/商品进价商品售价=商品标价×折扣率例.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？分析：探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元进价折扣率标价优惠价利润x元8折（1+40%）x元80%（1+40%）x15元等量关系：（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15解：设进价为X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125答：略.类型9.和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。例1.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到2000年11月1日0时，全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人，比1990年7月1日减少了3.66%，1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度？分析：等量关系为：1366%9062000111.年月底有的人数年月日人数解：设1990年6月底每10万人中约有x人具有小学文化程度(.1366%)35701xx37057答：略.类型10.行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间。（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。（1）分析：相遇问题，画图表示为：甲乙等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480解这个方程，230x=390∴x=11623答：略.（2）分析：相背而行，画图表示为：600甲乙等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120∴x=1223答：略.（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=60050x=120∴x=2.4答：略.（4）分析：追及问题，画图表示为：甲乙等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。解：设x小时后快车追上慢车。由题意得，140x=90x+480解这个方程，50x=480∴x=9.6答：略.（5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+48050x=570解得，x=11.4