2005数学建模试题及答案

2005数学建模试题1．（10分）设某产品的供给函数)(p与需求函数)(pf皆为线性函数：78)(65)(ppfpp其中p为商品单价，试判断市场是否稳定并给出推理过程。2．（10分）某植物园的植物基因型为AA、Aa、aa，人们计划用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？3．（10分）建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量。4.（10分）试建立Lanchester游击战模型，并在无自然损失及没有增援的条件下求解模型，给出敌对双方获胜的条件。5.（10分）根据水情资料，某地汛期出现平水水情的概率为0.7,出现高水水情的概率为0.2,出现洪水水情的概率为0.1。.位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：a)运走，需支付运费20万元。b)修堤坝保护，需支付修坝费8万元。c)不作任何防范，不需任何支出。若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失600万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失300万元，发生洪水时损失设备600万元。根据上述条件，选择最佳决策方案。6．（10分）由七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高时一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（ω，以公斤计）是不同的。下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每辆平板车有10.2米的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。由于当地货运得限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7厘米。试把包装箱（见下表）装到平板车上去使得浪费的空间最小。C1C2C3C4C5C6C7t(厘米)48.752.061.372.048.752.064.0W(公斤)200030001000500400020001000件数87966487．（10分）以你的专业知识举一个灰色系统理论方面的问题，论述其灰色特征，并提出你的解决办法。2005数学建模考试参考答案1.解：由题意：1383)31(8)(1383)31(5)(ppfpp需求与供给有交点，)1383,131(把时间区间n等分，,ntn为步长，nP为nt时的价格，则由供求平衡的需要，由于供给由上一时刻的需求决定于是有)()(11nnPfP（4分）即)(1383)131(51383)131(8)(11nnnnPPPPf递推得131)131()85(0PPnn0P为初始价格（8分）851当n，nP收敛，市场稳定。（10分）2．解：设nnncba,,分别表示第n代中，aaAaAA,,占总体的百分率，则1nnbcba考虑第n代基因型与第1n代的关系，选用AA型植物培育后代，则111111111210012100211nnnnnnnnnnnncbaccbabcbaa（4分）0211aaAAAaAAAA0211aaAaAaAAAA令210012100211M设)(nnnnXcba则TnnncbaXXMMXX),,(000)0()0()1()(（6分）相对M进行相似变换，对角仪，1PDPM1002101111PP故1002101111000)21(0001100210111)(11nnnnPPDPDPM00021210211211111nnnn（8分）021212121010010000nnnnnnnccbbcbcbaa令n，有1na00nncb，经过若干代后，将全部培育成AA型植物，Aa型与aa型全部消失。（10分）3．解：设某水域现有鱼量x，由于受资源限制所能容纳的最大鱼量mx，高自然增长率r，捕捞增长率k，按人口的逻辑模型建立微分方程。kxxxrxdtdxm)1(（2分）要保持鱼量平衡0dtdx，设平衡点为0x，解得mxrkrx0设),(xfdtdx考虑)(xf在0x的泰勒展式)(0))(()(000xxxxxfxfrkxf)(0当)(0xf＞0时)(xf与0xx同号0x为不稳定平衡点当)(0xf＜0时)(xf与0xx异号0x为稳定平衡点)(0xf＜0即r＞k（6分）设)1()(1mxxrxxfkxxf)(2由于k＜r曲线)(1xf与)(2xf有交点，因)(1xf在原点切线为rxy解得，易知当20mxx时，取得最大捕捞量rk21，mxrrxxf421)(02最大捕捞量为mxr4（10分）4解：设)(),(tytx为两支部队兵力，ba,为作战损失率，)0,(ba建立模型bxydtdyaxydtdx（2分）则①②badydx③解③)()(00yyaxxb00aybxaybx（6分）令00aybxL某部分获胜，即对方部队先减少到0，于是，若0,0xyabLyx,同时为0若L＞0，即,00xyab当bLx时，0yx获胜若L＜0，即,00xyab当aLy时，0xy获胜（10分）5.解：设三种方案分别为A，B，C，通过判断三种方案的期望效益大小选择方案，最佳方案即期望效益最大。期望效益20)(AE（3分）68)600(1.009.08)(BE（6分）)600(1.0)300(2.007.0)(CE（9分）120)(AE＞)(BE＞)(CE采取方案A为最佳。（10分）6解：设Ci型箱的原度，ia米，重ib公斤，在其一辆车上装ix件，另一车上装iy件，设Ci型箱的总数为id则iiidyx，则则归结为以下的线性规划问题)2.10()2.10max(8181iiiiiiyaxa),,(表中已给出iiidba（4分）为整数且yxyxidyxyaybyaxaxbxaiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii,0,7,2,1027.3402.10027.3402.10757171757171（8分）给出两个约束条件（10分）7答：黑色系统一般为只知输入与输出，却不知它们的关系，白色系统一般为全部知道输入与输出的关系和具体参数，灰色系统为知道输入与输出的部分关系。（5分）如经济系统的投资开发资源量的关系问题，更确切点给密切协作一经验数据及某年的投资预测，由于经济问题其原理并不明确，其内部诸要素之间存在复杂的高度非线性相互作用，所以相对我们的认识而言经济系统是一个灰色系统。考虑到逐年统计数据可能存在受诸多因素影响的误差，可以采用一次累加做生成数，对投资与产量分别作业成数，然后用)1,1(GM模型求解，最后再用一次累减得到要求的结果。（10分）