高中数学2.1.2第一课时指数函数的图像及其性质教学精品课件新人教A版必修

2.1.2指数函数及其性质第一课时指数函数的图象及性质栏目导航课前预习课堂探究【课标要求】1.理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出指数函数图象.2.初步掌握指数函数的有关性质.【实例】下列从数集A到数集B的对应中能构成函数的是哪些?①A=R,B=R,f:x→y=2x;②A=R,B=(0,+∞),f:x→y=12x;③A=R,B=R,f:x→y=2x+1;④A=R,B=(0,+∞),f:x→y=(-2)x.解:由上节知识可知,当底数大于0时,指数的取值范围是任意正实数,即对①②③中的每一个x∈A,在B中都有唯一确定的y与之对应,因此,①②③能构成函数;而对④中的对应,当x=12时,在B中无元素与之对应,因此④构不成函数.指数函数1:函数①②是什么函数?(指数函数)1:指数函数的定义函数y=ax(a0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.【质疑探究1】(1)为什么底数a0且a≠1?(如果a=0,00,0xxxaxa当＞时,恒等于当≤时,无意义.如果a0,如y=(-4)x,当x=14、12等时,在实数范围内函数值不存在.如果a=1,y=1x=1,是一个常量,对它就没有研究的必要.为了避免上述各种情况,所以规定a0且a≠1)(2)为什么③不是指数函数?(在指数函数的定义表达式y=ax(a0且a≠1)中,ax前的系数必须是1,自变量x在指数的位置上,否则,不是指数函数.比如y=2ax,y=ax+1,y=ax+1等,都不是指数函数)1:若指数函数f(x)的图象过点(2,9),则f(x)=.解析:设指数函数f(x)=ax(a0,且a≠1),则由题意知,a2=9.又a0,解得a=3,故f(x)=3x.答案:3x指数函数的图象和性质2:如何作函数①②的图象?图象有哪些特征?两支图象有何关系?(利用“列表—描点—连线”的方法作出函数①②的图象如图,可以发现图象都在x轴上方,与y轴都交于点(0,1),且图象自身不具备对称性,y=2x与y=12x的图象关于y轴对称.xy=2xy=12x-1212-210.7071.414011211.4140.7071221)2:指数函数的图象和性质见附表【质疑探究2】(1)学习指数函数图象与性质的关键是什么?(明确底数a与1的关系)(2)指数函数图象与坐标轴存在什么位置关系?(当0a1时,x→+∞,y→0;当a1时,x→-∞,y→0.当a1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快.当0a1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快.(其中“x→+∞”的意义是“x接近于正无穷大”))(3)指数函数图象的分布与底数a的大小存在什么关系?(在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小;即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大)2:(1)指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则(C)(A)a0,b0(B)a0,b0(C)0a1,b1(D)0a1,0b1(2)(2012北京市第三十九中学期中)若指数函数y=(a+1)x在(-∞,+∞)上是减函数,那么(B)(A)0a1(B)-1a0(C)a=-1(D)a-1解析:(1)指数函数在底数大于1时单调递增,在底数大于0小于1时单调递减,因而选C.(2)由题意知0a+11,所以-1a0.故选B.指数函数的概念【例1】下列函数中,哪些是指数函数?①y=(-8)x;②y=212x;③y=ax;④y=(2a-1)x(a21,且a≠1);⑤y=2·3x.解:④为指数函数.①中底数-80,∴不是指数函数.②中指数不是自变量x,而是x的函数,∴不是指数函数;③中底数a,只有规定a0且a≠1时,才是指数函数;⑤中3x前的系数是2,而不是1,∴不是指数函数.如何判断函数是否为指数函数?(只需判定其解析式是否符合y=ax(a0,且a≠1)这一结构形式,其具备的特点为:)跟踪训练11:函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a的值为.解析:由y=(a2-3a+3)ax是指数函数,可得2331,01,aaaa＞且解得12,01,aaaa或＞且∴a=2.答案:2指数函数的图象特征【例2】如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是()(A)ab1cd(B)ba1dc(C)1abcd(D)ab1dc解析:法一在①②中底数小于1且大于零,在y轴右边,底数越小,图象向下越靠近x轴,故有ba,在③④中底数大于1,在y轴右边,底数越大,图象向上越靠近y轴,故有dc.故选B.法二作直线x=1,与四个图象分别交于A、B、C、D四点,由于x=1代入各个函数可得函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知ba1dc,故选B.指数函数图象存在哪些特征?(指数函数图象特征可简记为:一定二近三单调,两侧顺底变小,即它是过定点(0,1)且无限靠近x轴的单调(上升或下降)图象,在y轴同侧底数均按顺时针方向变小)跟踪训练21:函数y=a2x+1-4(a0且a≠1)的图象恒过定点.解析:法一因为函数y=ax(a0且a≠1)过定点(0,1),函数y=a2x+1-4中,令2x+1=0得x=-12,y=a0-4=1-4=-3,所以函数的图象恒过定点(-12,-3).法二函数可变形为y+4=a2x+1,把y+4看作2x+1的指数函数,所以当2x+1=0时,y+4=1,即x=-12,y=-3.所以函数的图象恒过定点(-12,-3).答案:(-12,-3)与指数函数有关的定义域、值域问题【例3】求下列函数的定义域和值域.(1)y=142x;(2)y=213x.名师导引:(1)以上函数是指数函数吗?(不是指数函数,其形式可记为y=af(x)(a0且a≠1),一般称为指数型函数)(2)指数型函数y=af(x)(a0且a≠1)的定义域取决于谁?(由于指数函数定义域为R,所以y=af(x)的定义域取决于f(x),只要f(x)有意义即可)解:(1)由x-4≠0,得x≠4,∴定义域为{x|x∈R,且x≠4}.∵14x≠0,∴142x≠1,∴y=142x的值域为{y|y0,且y≠1}.(2)由x-2≥0,得x≥2.∴定义域为{x|x≥2}.当x≥2时,2x≥0,又0311,∴y=213x的值域为{y|0y≤1}.(1)如何求解函数y=af(x)(a0且a≠1)的定义域和值域?(①定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围;②值域问题,应分以下两步求解:a.由定义域求出u=f(x)的值域;b.利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域)(2)这一求解过程体现了什么数学思想方法?(换元与化归的思想方法,要注意换元后字母取值范围的确定)跟踪训练31:求函数y=2412xx的定义域和值域.解:显然函数定义域为R,设t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4,∵211,∴y=12t是[-4,+∞)上的减函数,∴y=2412xx≤12-4=24=16.又y0,故所求函数的值域为(0,16].【备选例题】【例1】画出函数y=|3x-1|的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解?解:函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到,函数图象如图所示.当k0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解;当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解;当0k1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同交点,所以方程有两解.【例2】求函数f(x)=14x+12x+1的定义域和值域.解:要使函数f(x)有意义,需使14x和12x有意义,∴函数f(x)的定义域是R.设12x=t,又x∈R,则t∈(0,+∞)则y=t2+t+1=12t2+43,t∈(0,+∞)∴y1022+43=1.即函数f(x)的值域为(1,+∞).