定时训练(3)充分条件与必要条件

定时训练（3）充分条件与必要条件一、选择题1．(文)已知a、b都是实数，那么“a2b2”是“ab”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]D[解析]a2b2不能推出ab，例：(－2)212，但－21；ab不能推出a2b2，例：1－2，但12(－2)2，故a2b2是ab的既不充分也不必要条件．(理)“|x－1|2成立”是“x(x－3)0成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由|x－1|2得－2x－12，∴－1x3；由x(x－3)0得0x3.因此“|x－1|2成立”是“x(x－3)0成立”的必要不充分条件．2．(2010·福建文)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A[解析]当x＝4时，|a|＝42＋32＝5当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．3．(文)已知数列{an}，“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝3x＋2上”是“{an}为等差数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]点Pn(n，an)在直线y＝3x＋2上，即有an＝3n＋2，则能推出{an}是等差数列；但反过来，{an}是等差数列，an＝3n＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(2010·南充市)等比数列{an}中，“a1a3”是“a5a7”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分与不必要条件[答案]C[解析]在等比数列中，q≠0，∴q40，∴a1a3⇔a1q4a3q4⇔a5a7.4．(09·陕西)“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]由mn0可以得方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．故选C.5．(文)设集合A＝{x|xx－10}，B＝{x|0x3}，那么“m∈A”是“m∈B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]∵A＝{x|0x1}，∴AB，故“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，选A.(理)(2010·杭州学军中学)已知m，n∈R，则“m≠0或n≠0”是“mn≠0”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]∵mn≠0⇔m≠0且n≠0，故选A.6．(文)(2010·北京东城区)“x＝π4”是“函数y＝sin2x取得最大值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]x＝π4时，y＝sin2x取最大值，但y＝sin2x取最大值时，2x＝2kπ＋π2，k∈Z，不一定有x＝π4.(理)“θ＝2π3”是“tanθ＝2cosπ2＋θ”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]解法1：∵θ＝2π3为方程tanθ＝2cosπ2＋θ的解，∴θ＝2π3是tanθ＝2cosπ2＋θ成立的充分条件；又∵θ＝8π3也是方程tanθ＝2cosπ2＋θ的解，∴θ＝2π3不是tanθ＝2cosπ2＋θ的必要条件，故选A.解法2：∵tanθ＝2cosπ2＋θ，∴sinθ＝0或cosθ＝－12，∴方程tanθ＝2cosπ2＋θ的解集为A＝θθ＝kπ或θ＝2kπ±23π，k∈Z，显然2π3A，故选A.7．“m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]两直线垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0即m＝12或m＝－2，∴m＝12是两直线相互垂直的充分而不必要条件．8．(2010·浙江宁波统考)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是()A．l1⊥m，l1⊥nB．m⊥l1，m⊥l2C．m⊥l1，n⊥l2D．m∥n，l1⊥n[答案]B[解析]当m⊥l1，m⊥l2时，∵l1与l2是β内两条相交直线，∴m⊥β，∵m⊂α，∴α⊥β，但α⊥β时，未必有m⊥l1，m⊥l2.9．(2010·黑龙江哈三中)命题甲：12x,21－x,2x2成等比数列；命题乙：lgx，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由条件知甲：(21－x)2＝12x·2x2，∴2(1－x)＝－x＋x2，解得x＝1或－2；命题乙：2lg(x＋1)＝lgx＋lg(x＋3)，∴x＋12＝xx＋3x＋10x0x＋30，∴x＝1，∴甲是乙的必要不充分条件．10．(2010·辽宁文，4)已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)[答案]C[解析]∵f′(x)＝2ax＋b，又2ax0＋b＝0，∴有f′(x0)＝0故f(x)在点x0处切线斜率为0∵a＞0f(x)＝ax2＋bx＋c∴f(x0)为f(x)的图象顶点的函数值∴f(x)≥f(x0)恒成立故C选项为假命题，选C.[点评]可以用作差法比较．二、填空题11．给出以下四个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题．②命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆命题．③设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝3，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．④命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题，其中真命题的序号是________．[答案]②③④[解析]①∵p∨q为真，∴p真或q真，故p∧q不一定为真命题，故①假．②逆命题：若A∪B＝B，则A∩B＝A，∵A∪B＝B，A⊆B，∴A∩B＝A，故②真．③由条件得，ba＝sinBsinA＝3，当B＝60°时，有sinA＝12，注意ba，故A＝30°；但当A＝30°时，有sinB＝32，B＝60°，或B＝120°.故③真；④否命题：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数，这是一个真命题，假若f(－x)为奇函数，则f[－(－x)]＝－f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，与条件矛盾．12．(文)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；④数域必为无限集；其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案]①④[解析]结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．(理)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案]③④[解析]①整数a＝2，b＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋b∉M；③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x是一个非完全平方正整数(x1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋bx|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．13．(2010·辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题：p：不等式13x＋4m2x－x2对一切实数x恒成立；q：f(x)＝－(7－2m)x是R上的减函数，如果p且q为真命题，则实数m的取值范围是________．[答案](1,3)[解析]∵13x＝44,2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴要使13x＋4m2x－x2对一切x∈R都成立，应有1m≤4；由f(x)＝－(7－2m)x在R上是单调减函数得，7－2m1，∴m3，∵p且q为真命题，∴p真且q真，∴1m3.14．(2010·福建理)已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)满足：(1)对任意x∈(0，＋∞)，恒有f(2x)＝2f(x)成立；(2)当x∈(1,2]时，f(x)＝2－x.给出如下结论：①对任意m∈Z，有f(2m)＝0；②函数f(x)的值域为[0，＋∞)；③存在n∈Z，使得f(2n＋1)＝9；④“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得(a，b)⊆(2k,2k＋1)．其中所有正确结论的序号是________．[答案]①②④[解析]对于①，f(2)＝0，又f(2)＝2f(1)＝0，∴f(1)＝0，同理f(4)＝2f(2)＝0，f(8)＝0……f(1)＝2f(12)＝0，∴f(12)＝0，f(14)＝0……归纳可得，正确．对于②④当1x≤2时，f(2x)＝4－2x，而22x≤4，∴当2x≤4时，f(x)＝4－x同理，当4x≤8时，f(x)＝8－x……∴当2m－1x≤2m时，f(x)＝2m－x，故②正确，④也正确．而③中，若f(2n＋1)＝9，∵2n2n＋1≤2n＋1∴f(x)＝2n＋1－x，∴f(2n＋1)＝2n＋1－2n－1＝9，∴2n＝10，∴n∉Z，故错误．三、解答题15．已知c0.设命题P：函数y＝logcx为减函数．命题Q：当x∈12，2时，函数f(x)＝x＋1x1c恒成立．如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求c的取值范围．[解析]由y＝logcx为减函数得0c1当x∈12，2时，因为f′(x)＝1－1x2，故函数f(x)在12，1上为减函数，在(1,2]上为增函数．∴f(x)＝x＋1x在x∈12，2上的最小值为f(1)＝2当x∈12，2时，由函数f(x)＝x＋1x1c恒成立．得21c，解得c12如果P真，且Q假，则0c≤12如果P假，且Q真，则c≥1所以c的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)．16．给出下列命题：(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：m－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．(3)已知四边形M，p：M是矩形；q：M的对角线相等．试分别指出p是q的什么条件．[解析](1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0⇒/x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．(2)∵m－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根⇒/m－2.∴p是q的充分不必要条件．(3)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不一定是矩形．∴q⇒/p.∴p是q的充分不必要条件．17．(文)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且q≠1)，求数列{an}成等比数列的充要条件．[解析]当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1，由于p≠0，q≠1，∴当n≥2时，{an}为