指数函数复习教案

指数函数一、考纲点击1．了解指数函数模型的实际背景；2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4．知道指数函数是一类重要的函数模型。二、热点、难点提示1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点.2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,考查分类讨论思想和数形结合思想.3.多以选择、填空题形式出现,但若以e为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现.1．根式（1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果nxa,那么x叫做a的n次方根1nnN且当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数na零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数(0)naa负数没有偶次方根（2）．两个重要公式①(0)(0)nnnanxaaaaanaa为奇数为偶数；②()()nnnaaaa注意必须使有意义。2．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正整数指数幂:()nnaaaanN个;②零指数幂:01(0)aa;③负整数指数幂:1(0,);ppaapNa④正分数指数幂:(0,,1)mnmnaaamnNn、且;⑤负分数指数幂:11(0,,1)mnmnmnaamnNnaa、且⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a0,b0,r∈Q);.3．指数函数的图象与性质y=axa10a1图象定义域R值域（0，+）性质（1）过定点（0，1）（2）当x0时，y1;x0时,0y1(2)当x0时，0y1;x0时,y1(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数思考：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1,∴cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。【热点难点全析】一、幂的运算的一般规律及要求1．相关链接(1)分数指数幂与根式根据*(,,,)mmnnaaa0mnNn1＞且＞可以相互转化.(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将24a写成12a等必须认真考查a的取值才能决定,如,2244111而1211无意义.(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.(4)指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.指数幂的化简与求值的原则及结果要求（1）化简原则①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序.注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算。（2）结果要求①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。2．例题解析〖例1〗（1）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa；（2）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(分析：（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。（2）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。解：（1）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa；（2）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(922)2917(21]1024251253794[〖例2〗已知11223xx，求22332223xxxx的值解：∵11223xx，∴11222()9xx，∴129xx，∴17xx，∴12()49xx，∴2247xx，又∵331112222()(1)3(71)18xxxxxx，∴223322247231833xxxx二、指数函数的图象及应用1．相关链接（1）图象的变换1()()yfxyfxa、()()+byfxyfx2、()()yfxyfx3、()()yfxyfx4、()()yfxyfx4、5()()yfxyfx、6()()yfxyfx、7()()yfxyfx、（2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质①图象在x轴上的投影可得出函数的定义域；②图象在y轴上的投影可得出函数的值域；③从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；④由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解。（3）应用指数函数图象研究指数型函数的性质：对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.（4）利用图象解指数型方程、不等式：一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.2．例题解析〖例1〗已知f(x)=|2x-1|(1)求f(x)的单调区间.(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.【方法诠释】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象，数形结合求解.(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.解析：(1)由f(x)=|2x-1|=,.,xx21x012x0＜可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-∞,0)上递减；函数f(x)在(0,+∞)上递增.(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象，如图所示.由图象知,当||00x1x2121时,解得,022xlog3两图象相交,从图象可见,当22xlog3＜时,f(x)＞f(x+1)；当=22xlog3时,f(x)=f(x+1);当22xlog3时,f(x)＜f(x+1).(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象如图所示，有四个交点,故g(x)有四个零点.〖例2〗已知函数y=(13)|x+1|。（1）作出图象；（2）由图象指出其单调区间；（3）由图象指出当x取什么值时函数有最值。分析：化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值。解答：（1）由已知可得1|1|11(1)1,333(1)xxxxyx其图象由两部分组成：一部分是：1111()(0)()(1);33xxyxx向左平移个单位另一部分是：113(0)3(1).xxyxyx向左平移个单位图象如图：（2）由图象知函数在(,1]上是增函数，在(1,)上是减函数。（3）由图象知当1x时，函数有最大值1，无最小值。三、指数函数的性质及应用1、相关链接与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤①求复合函数的定义域；②弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；③分层逐一求解函数的单调性；④求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）。2、例题解析〖例1〗(1)函数2x11y327的定义域是______.(2)函数1()32x4x3fx的单调递减区间为______,值域为______.(3)已知函数xxa1fxa1(a＞0且a≠1)①求f(x)的定义域和值域；②讨论f(x)的奇偶性；③讨论f(x)的单调性.【方法诠释】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解.解析：(1)由题意知,2x113027∴32x-1≥3-3,∴2x-1≥-3,∴x≥-1,即定义域是[-1,+∞).答案：[-1,+∞)(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而1()3ty在R上为单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减.又g(x)=-(x+2)2+7≤7,().771fx33答案：(-∞,-2)[3-7,+∞)(3)①f(x)的定义域是R,令,xxa1ya1得ax=-y1y1,∵ax＞0,∴-y1y1＞0,解得-1＜y＜1,∴f(x)的值域为{y|-1＜y＜1}.②,xxxxa11afxfxa11a∴f(x)是奇函数.③,xxxa122fx1a1a1设x1,x2是R上任意两个实数,且x1＜x2,则.122112xx12xxxx2aa22fxfxa1a1a1a1∵x1＜x2,∴当a＞1时,从而,,,1212xxxxa10a10aa0＞＞＜∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),f(x)为R上的增函数.当0＜a＜1时,,12xxaa0＞＞从而,,,1212xxxxa10a10aa0＞＞＞∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),f(x)为R上的减函数.〖例2〗如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a0且a≠1)在区间0,上是增函数，求实数的取值范围分析：先化简f(x)的表达式，利用复合函数的单调性的方法求解，或利用求导的方法来解。解答：由题意得f(x)=（ax）2-（3a2+1）ax，令t=ax。f(t)=t2-(3a2+1)t(t0).当a1时，t=ax在0,上为增函数，则此时t1,而对于f(t)而言，对称轴t=2312a2,故f(x)在0,上不可能为增函数；当0a1时，t=ax在0,上为减函数，此时0t1,要使f(x)在0,上为增函数，则f(t)在0,1上必为减函数，故2312a1.∴a33或a33,∴313a。四、指数函数的综合应用〖例1〗已知f(x)=21aa(ax-a-x)(a0,a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[-1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围.思路分析：本题(1)(2)问判断f(x)的奇偶性、讨论它的单调性，由于已知函数的解析式，因此用定义判断或利用导数判断；(3)恒成立问题，实质上是探求f(x)的最小值.解答：(1)函数的定义域为R，关于原点对称，∵，∴f(x)为奇函数；（2）方法一：设，则当a1时，21aa0，0，＞0，∴f(x1)-f(x2)0，即f(x1)