变轨、双星-专题练习题

一、卫星的变轨问题例1、2019年4月20日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第44颗北斗导航卫星，拉开了今年北斗全球高密度组网的序幕。北斗系统主要由离地面高度约为6R的同步轨道卫星和离地面高度约为3R的中圆轨道卫星组成(R为地球半径)，设表面重力加速度为g，忽略地球自转。则（）A．这两种卫星速度都大于gRB．中圆轨道卫星的运行周期大于24小时C．中圆轨道卫星的向心加速度约为16gD．卫星从中轨道变到同步轨道需向前喷气【答案】C【解析】A．M表示地球的质量，m表示卫星的质量，根据万有引力提供向心力22MmvGmrr得GMvr又地球表面的物体002MmGmgR解得2gRvr故A错误；B．M表示地球的质量，m表示卫星的质量，根据万有引力提供向心力222π()MmGmrrT得32πrTGM可知轨道半径越大则周期越大，所以中圆轨道卫星的运行周期小于同步卫星的周期24小时，故B错误；C．在地球表面为m0的物体，有002MmGmgR中圆轨道卫星22316()GMmGMmmaRRR则其向心加速度约为16g，故C正确；D．卫星的轨道越高，所以若卫星从中圆轨道变轨到同步轨道，需向后方喷气加速，故D错误。故选C。例2、（多选）发射地球同步卫星要经过三个阶段:先将卫星发射至近地圆轨道1,然后使其沿椭圆轨道2运行，最后将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示．当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是()A．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度B．卫星在轨道1上经过Q点时的速度等于它在轨道2上经过Q点时的速度大小C．卫星在轨道3上受到的引力小于它在轨道1上受到的引力D．卫星由2轨道变轨到3轨道在P点要加速【答案】ACD【解析】A.根据万有引力提供向心力2MmGmar,得2GMar,所以卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度.故A正确的;B.卫星从轨道1上经过Q点时加速做离心运动才能进入轨道2,故卫星在轨道1上经过Q点时的速度小于它在轨道2上经过Q点时的速度,故B错误;C、根据引力定律2GMmFr,可以知道,距离越大的,同一卫星受到的引力越小,因此在轨道3上受到的引力小于它在轨道1上受到的引力,故C正确D、由2轨道变轨到3轨道,必须加速,才能做匀速圆周运动,否则仍做近心运动,，故D正确；二、与卫星有关的几组概念的比较例3、(多选)如图所示，A是地球的同步卫星，B是位于赤道平面内的近地卫星，C为地面赤道上的物体，已知地球半径为R，同步卫星离地面的高度为h，则()A．A、B加速度的大小之比为R＋hR2B．A、C加速度的大小之比为1＋hRC．A、B、C速度的大小关系为vA＞vB＞vCD．要将B卫星转移到A卫星的轨道上运行至少需要对B卫星进行两次加速解析：根据万有引力提供向心力可知GMmr2＝ma，得aA＝GMR＋h2，aB＝GMR2，故aAaB＝RR＋h2，选项A错误；A、C角速度相同，根据a＝ω2r得aA＝ω2(R＋h)，aC＝ω2R，故aAaC＝1＋hR，选项B正确；根据GMmr2＝mv2r得v＝GMr，可知轨道半径越大线速度越小，所以vB＞vA，A、C角速度相同，根据v＝ωr可知vA＞vC，故vB＞vA＞vC，选项C错误；要将B卫星转移到A卫星的轨道上，先要加速到椭圆轨道上，再由椭圆轨道加速到A卫星的轨道上，选项D正确．答案：BD例4：(多选)同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是()A.a1a2＝rRB.a1a2＝r2R2C.v1v2＝rRD.v1v2＝Rr解析：设地球质量为M，同步卫星质量为m1，地球赤道上的物体质量为m2，在地球表面运行的物体质量为m3，由于地球同步卫星周期与地球自转周期相同，则a1＝rω21，a2＝Rω22，ω1＝ω2，所以a1a2＝rR，故A项正确．依据万有引力定律和向心力表达式可得：对m1：GMm1r2＝m1v21r，所以v1＝GMr，对m3：GMm3R2＝m3v22R，所以v2＝GMR.得：v1v2＝Rr，故D项正确．答案：AD三：双星模型例5、经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．两颗星球组成的双星m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知()A．m1与m2做圆周运动的角速度之比为2∶3B．m1与m2做圆周运动的线速度之比为3∶2C．m1做圆周运动的半径为25LD．m2做圆周运动的半径为25L双星系统在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动，角速度相同，选项A错误；由Gm1m2L2＝m1ω2r1＝m2ω2r2得r1∶r2＝m2∶m1＝2∶3，由v＝ωr得m1与m2做圆周运动的线速度之比为v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，选项B错误；m1做圆周运动的半径为25L，m2做圆周运动的半径为35L，选项C正确，D错误．答案：C例6、双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为多少？【答案】3nTk【解析】双星靠彼此的引力提供向心力，则有对m1有：21211224mmGmrLT对m2有：21222224mmGmrLT并且r1＋r2＝L解得：3122LTGmm当双星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时:333122nLnTTGkmmk课后作业：1、(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则()A．该卫星在P点的速度大于7.9km/s，小于11.2km/sB．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9km/sC．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ解析：环绕地球的人造卫星在P点做离心运动，此时速度应大于第一宇宙速度7.9km/s小于第二宇宙速度11.2km/s，故A正确；环绕地球的人造卫星，最大的运行速度是7.9km/s，故B错误；P点比Q点离地球近些，故在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度，故C正确；卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故D正确．答案：ACD2、“嫦娥四号”已成功降落月球背面，未来中国还将建立绕月轨道空间站。如图所示，关闭动力的宇宙飞船在月球引力作用下沿地－月转移轨道向月球靠近，并将与空间站在A处对接。已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，月球的半径为R，下列说法正确的是A．宇宙飞船在A处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火加速B．地－月转移轨道的周期小于TC．月球的质量为2324rMGTD．月球的第一宇宙速度为2RvT【答案】C【解析】A．宇宙飞船在椭圆轨道的A点做离心运动，只有在点火制动减速后，才能进入圆轨道的空间站轨道。故A错误；B．根据开普勒第三定律可知，飞船在椭圆轨道的半长轴大于圆轨道的半径，所以地-月转移轨道的周期大于T．故B错误；C．对空间站，根据万有引力提供向心力2224MmGmrrT＝得2324rMGT＝根据空间站的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G就能计算出月球的质量M．故C正确。D．第一宇宙速度是指绕月球表面运行的速度，而题干中的周期为空间站的周期，因此不能用2RvT计算第一宇宙速度，当周期为绕月球表面飞行的周期时可以进行计算，故D错误。故选C。3、已知近地卫星线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，地球同步卫星线速度大小为v2、向心加速度大小为a2.设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍，则以下结论正确的是()A.v1v2＝61B.a1a2＝491C.a1a2＝71D.v1v2＝71由GmMr2＝mv2r得v＝GMr，所以v1v2＝r2r1＝7∶1，A、D错误；由GmMr2＝ma得a＝GMr2，所以a1a2＝r22r21＝49∶1，B对，C错．答案：B4、靠近地面运行的近地卫星的加速度大小为a1，地球同步轨道上的卫星的加速度大小为a2，赤道上随地球一同运转（相对地面静止）的物体的加速度大小为a3，则（）A．a1=a3＞a2B．a1＞a2＞a3C．a1＞a3＞a2D．a3＞a2＞a1【答案】B【解析】题中涉及三个物体：地球赤道上有一随地球的自转而做圆周运动物体3、绕地球表面附近做圆周运动的近地卫星1、地球同步卫星2；物体3与卫星1转动半径相同，物体3与同步卫星2转动周期相同，从而即可求解．【详解】地球上的物体3自转和同步卫星2的周期相等为24h，则角速度相等，即ω2=ω3，而加速度由a=rω2，得a2＞a3；同步卫星2和近地卫星1都靠万有引力提供向心力而公转，根据2GMmmar，得2GMar，知轨道半径越大，角速度越小，向心加速度越小，则a1＞a2，综上B正确；故选B．【点睛】本题关键要将赤道上自转物体3、地球同步卫星2、近地卫星1分为三组进行分析比较，最后再综合；一定不能将三个物体当同一种模型分析，否则会使问题复杂化．5、（多选）最新天文学观测发现的双子星系统“开普勒－47”有一对互相围绕运行的恒星，运行周期为T，其中一颗大恒星的质量为M，另一颗小恒星只有大恒星质量的三分之一．已知引力常量为G.据此可知()A．大、小两颗恒星转动的角速度之比为1∶3B．大、小两颗恒星转动的半径之比为1∶3C．大、小两颗恒星转动的线速度之比为1∶3D．两颗恒星相距3GMT2π2解析：互相围绕运行的恒星属于双星系统，大、小两颗恒星转动的角速度相等，选项A错误；由GM·M3r2＝Mω2r1＝13Mω2r2可得3r1＝r2，大、小两颗恒星转动的半径之比为r1∶r2＝1∶3，选项B正确；由v＝ωr可得大、小两颗恒星转动的线速度之比为1∶3，选项C正确；由G·M·M3r2＝M2πT2r4可得两颗恒星相距r＝3GMT23π2，选项D错误．答案：BC6、在宇宙中，单独存在的恒星占少数，更多的恒星是以构成双星、三星甚至多星系统的形式存在，最多的是双星系统。通常两颗质量相差不大、相距较近的恒星，它们以两者连线上某一位置为中心分别做匀速圆周运动，这样的两颗恒星运行形式就构成了双星系统。若已知双星系统中两颗恒星的质量分别为m1和m2，相距为L，万有引力常量为G。求：（1）该双星系统中两颗恒星运行的轨道半径分别为多大；（2）该双星系统运行的角速度大小。【答案】（1）2112mLrmm=+，1212mLrmm=+；（2）ω=123GmmL.【解析】(1)设m1到中心O的距离为r1，m2到中心O的距离为r2，则由万有引力提供向心力有：212112mmGmRL①212222mmGmRL②①②两式相除得：1221RmRm又因为：12RRL所以有：2112mLRmm1212mLRmm(2)①式消去m1，②式消去m2，相加得：2212122mmGRRLL计算得出：123GmmL.答：(1)该双星系统中两颗星的轨道半径分别是2112mLrmm=+，1212mLrmm=+(2)该双星系统的运行的角速度是123GmmL.