函数单调性的定义与应用

函数的性质——单调性【教学目的】使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；【重点难点】重点：函数的单调性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性一、增函数与减函数⒈增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2.⑴若当x1x2时，都有f(x1)(fx2),则说f(x)在这个区间上是增函数⑵若当x1x2时，都有f(x1)(fx2),则说f(x)在这个区间上是减函数说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2，当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数.⒉单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x1,x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)(fx2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)(fx2)或f(x1)(fx2)”改为“f(x1)(fx2)或f(x1)(fx2)”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.⒊例题例1图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.练习：1、函数11xy的增减性的正确说法是：A．单调减函数B.在)0,(上是减函数,在),0(上是减函数C.在)1,(是减函数,在),1(是减函数D.除1x点外,在),(上是单调递减函数二次函数的单调性：对函数cbxaxxf2)()0(a，当0a时函数)(xf在对称轴abx2的左侧单调减小，右侧单调增加；当0a时函数)(xf在对称轴abx2的左侧单调增加，右侧单调减小；例：讨论函数322axxf(x)在(-2,2)内的单调性。二、函数单调性的证明步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．例1、证明函数xxy1在（1，+∞）上为减函数．例2、证明函数xxxf-1)(2在R上是单调减函数。练习1证明函数f(x)=1/x在(0,+)上是减函数.练习2试判断函数xxxf1-)(2在)(0,上的单调性并加以证明。例已知函数f(x)＝xax2(a0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．三、复合函数单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果u＝g(x)在区间(a，b)上具有单调性，当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且y＝f(u)在区间(m，n)上也具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)具有单调性的规律见下表：例：函数322xxy的单调减区间是（）A.]3,(B.),1[C.]1,(D.),1[求函数单调区间（复合函数）1.函数1yx的单调区间是（）A．（-，+）B.（-，0）（1，，）C.（-，1）、（1，）D.（-，1）（1，）2.下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是().A．32yxB．3yxC．245yxxD．23810yxx3．函数223yxx的增区间是（）。A．[-3，-1]B．[-1,1]C．113a(,3)D．(1,)4、已知函数1()fxxx，判断()fx在区间〔0，1〕和（1，+）上的单调性。五、函数单调性的应用：判断函数)(xfy的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例（1）若函数52)(2axxxf在)(-2,上单调递增，在)2,-(-上单调递减，求其实数a的取值；（2）若函数52)(2axxxf在)(-2,上单调递增，其实数a的取值范围；（3）若函数52x)(2axxf在)(-2,上单调递增，其实数a的取值范围；例若函数5)2(log)(22xaxxf在)(-2,上单调递增，其实数a的取值范围；例已知函数1log14)1-3()(xxxaxaxfa是),(-上的减函数，求实数a的取值范围；练习判断函数的单调性1.在区间)1,(上为增函数的是:A.)1(log21xyB.21xyC.2)1(xyD.xxy12.设),(a是函数221)(xxxf的反函数的一个单调增区间,则实数a的取值范围是A.2aB.2aC.2aD.2a3.下列命题:(1)若)(xf是增函数,则)(1xf是减函数;(2)若)(xf是减函数,则2)]([xf是减函数;(3)若)(xf是增函数,)(xg是减函数,)]([xfg有意义,则)]([xfg为减函数,其中正确的个数有:A.1B.2C.3D.04．2)1(2)(2xaxxf在区间4,上是减函数,则实数a的取值范围是5.已知函数f(x)=|2x|＋|x|的值随x值的增大而增大，求x的取值范围.6.)(xf是定义在),0(上的增函数,则不等式)]2(8[)(xfxf的解集是7.已知函数f(x)=13x,用函数单调性的定义证明：)(xf在(－∞,+∞)上单调递减.8.讨论函数21)(xxf在区间[－1,1]上的单调性,并证明.9.函数xxxf2)(,求证)(xf在]47,(上是增函数.二次函数的单调性1.函数22)1()(2axaxxf在]3,(上是减函数，求a的取值范围。2.函数14)3(2)(2axaxxf在),1[上是减函数求a的取值范围。3.函数baxxxf2)(在)1,(上是减函数,在),1(上是增函数，求a。4.函数1)13()(2xmmxxf在[-1,2]上是增函数,求m的取值范围。5.已知2)1(2)(2xaxxf在)4,(上是减函数,且,0)(xf求a的取值范围。6．2)1(2)(2xaxxf在区间4,上是减函数,则实数a的取值范围7.已知二次函数f(x)的二次项系数为正,且对于任意实数x,都有f(2-x)=f(x＋2)，讨论函数f(x)的单调性。单调性与大小关系1.如果ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集为{x|x＜－2或x＞4},设f(x)=ax2+bx+c,试比较f(－1),f(2),f(5)的大小.2．比较大小:)0,.(,mbambmaba3.设10x,使一次函数)0)((maxmy都是正数,则a的范围是:A.0aB.0aC.1aD.1a4.)(xf是定义在),0(上的增函数,则不等式)]2(8[)(xfxf的解集是5.)(xf是定义在R上增函数,且满足)()()(yfxfyxf(1)求)1(f的值;(2)若1)6(f,解不等式2)1()3(xfxf