搜索
第二十四讲平移、旋转与轴对称一、有关性质1.平移的性质(1)平移后的图形与原图形的对应线段_____(或在同一条直线上)且_____,对应角_____.(2)连接各组对应点的线段_____(或在同一条直线上)且_____.平行相等相等平行相等2.旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离_____.(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_______.(3)旋转前、后的图形_____.相等旋转角全等3.轴对称的性质(1)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的___________.(2)轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的___________.垂直平分线垂直平分线4.中心对称的性质(1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过__________,而且被对称中心所_____.(2)中心对称的两个图形是_____图形.对称中心平分全等二、坐标变换的规律1.在直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点________(或________);将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点________(或________).(x+a,y)(x-a,y)(x,y+b)(x,y-b)2.在直角坐标系中,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为_______,关于y轴对称的点的坐标为_______.3.在直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P′________.(x,-y)(-x,y)(-x,-y)【自我诊断】(打“√”或“×”)1.平移前后的图形形状和大小都没有发生变化.()2.任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角相等.()3.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称点.()√√√4.平行四边形既是中心对称图形也是轴对称图形.()5.如图,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,则∠B的度数为90°.()××6.正方形ABCD的边长为a,点E,F分别是对角线BD上的两点,过点E,F分别作AD,AB的平行线,如图所示,则图中阴影部分的面积之和等于2a.()×考点一平移、旋转与对称的区别【示范题1】(2017·德州中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()【思路点拨】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项进行判断.【自主解答】选D.选项A是中心对称图形,但不是轴对称图形;选项B既不是轴对称图形,也不是中心对称图形;选项C是轴对称图形,但不是中心对称图形;选项D既是轴对称图形又是中心对称图形.【答题关键指导】理解概念,正确判断(1)抓住图上的“关键点”平移,以“点”带动“整个图形”的平移.平移不改变图形的形状与大小.(2)将图形沿某条直线对折,两旁的部分重合,即为轴对称图形.(3)中心对称图形是图形沿对称中心旋转180°后与原图重合.【变式训练】1.(2017·济宁中考)下列图形是中心对称图形的是()【解析】选C.根据中心对称图形的定义,只有选项C中的图形绕着一点旋转180°后与原图形重合,符合中心对称图形的定义.2.(2017·青岛中考)下列四个图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是()【解析】选A.A是轴对称图形,但不是中心对称图形;B既是轴对称图形,也是中心对称图形;C既是轴对称图形,也是中心对称图形;D不是轴对称图形,但是中心对称图形.3.(2017·枣庄中考)将数字“6”旋转180°,得到数字“9”,将数字“9”旋转180°,得到数字“6”,现将数字“69”旋转180°,得到的数字是()A.96B.69C.66D.99【解析】选B.现将数字“69”旋转180°,得到的数字是69.4.(2017·烟台中考)下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是()【解析】选A.A是轴对称图形,不是中心对称图形;B既是轴对称图形,又是中心对称图形;C,D不是轴对称图形,也不是中心对称图形.考点二平移、旋转与对称性质的应用【示范题2】(2017·菏泽中考)如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连接AA′,若∠1=25°,则∠BAA′的度数是()A.55°B.60°C.65°D.70°【思路点拨】根据旋转的性质可得AC=A′C,然后判断出△ACA′是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠CA′A=45°,再根据三角形的内角和定理可得结果.【自主解答】选C.∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C,∴AC=A′C,∴△ACA′是等腰直角三角形,∴∠CA′A=45°,∠CA′B′=∠CA′A-∠1=45°-25°=20°=∠BAC.∴∠BAA′=20°+45°=65°.【答题关键指导】抓住图形变化中的不变性从“动”的角度去思考,明确“动中不动”(1)对应线段相等,对应角相等,形状、大小不变.(2)把握住平移方向、平移距离和旋转中心、旋转角度及旋转方向.【变式训练】1.(2017·宜宾中考)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD的度数是________.【解析】由旋转的性质可知,∠BOD=45°,∵∠AOB=15°,∴∠AOD=60°.答案:60°2.(2017·眉山中考)△ABC是等边三角形,点O是三条高的交点.若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合,则△ABC旋转的最小角度是________.【解析】因为△ABC是等边三角形,点O是三条高的交点,所以点O也是三条边的垂直平分线的交点,即点O是△ABC的外心,因此∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,则旋转的最小角度是120°.答案:120°考点三图形的变化与点的坐标变化【考情分析】平面直角坐标系中图形的变化引起了点的坐标变化,从而赋予了点的坐标更丰富的内容,题型有选择题、填空题,解答题,且多与平移、旋转、对称作图相结合命题.命题角度1:平移与坐标的变化【示范题3】(2017·大连中考)在平面直角坐标系xOy中,线段AB的两个端点坐标分别为A(-1,-1),B(1,2).平移线段AB,得到线段A′B′,已知A′的坐标为(3,-1),则点B′的坐标为()A.(4,2)B.(5,2)C.(6,2)D.(5,3)【思路点拨】根据A点的坐标及对应点A′的坐标可得线段AB向右平移4个单位,然后可得点B′的坐标.【自主解答】选B.∵A(-1,-1)平移后得到点A′的坐标为(3,-1),∴线段AB向右平移了4个单位,∴B(1,2)的对应点B′的坐标为(1+4,2),即(5,2).命题角度2:关于原点对称点的坐标【示范题4】(2017·大庆中考)若点M(3,a-2),N(b,a)关于原点对称,则a+b=________.【思路点拨】根据关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都分别互为相反数,可得答案.【自主解答】由题意得b=-3,a-2+a=0,解得a=1,a+b=-3+1=-2.答案:-2命题角度3:旋转与坐标变化【示范题5】(2017·威海中考)如图,A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),C点的坐标为(5,3),D点的坐标为(3,-1).小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,你认为这个旋转中心坐标是______.【思路点拨】分点A的对应点为C或D两种情况考虑:①当点A的对应点为点C时,连接AC,BD,分别作线段AC,BD的垂直平分线,交于点E,点E即为旋转中心;②当点A的对应点为点D时,连接AD,BC,分别作线段AD,BC的垂直平分线,交于点M,点M即为旋转中心.此题得解.【自主解答】①当点A的对应点为点C时,连接AC,BD,分别作线段AC,BD的垂直平分线,交于点E,如图1所示,∵A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),∴E点的坐标为(1,1);②当点A的对应点为点D时,连接AD,BC,分别作线段AD,BC的垂直平分线,交于点M,如图2所示,∵A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),∴M点的坐标为(4,4).综上所述,这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).答案:(1,1)或(4,4)命题角度4:轴对称与坐标变化【示范题6】(2017·武汉中考)点A(-3,2)关于y轴对称的点的坐标为()A.(3,-2)B.(3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)【思路点拨】根据关于y轴对称的点的纵坐标不变,横坐标互为相反数,可得答案.【自主解答】选B.因为关于y轴对称的点的纵坐标不变,横坐标互为相反数,所以点A(-3,2)关于y轴对称的点的坐标为(3,2).【答题关键指导】1.在平面直角坐标系中,图形向右(左)平移m个单位,则图形上各点的纵坐标不变,横坐标加上(或减去)m个单位(m0);图形向上(下)平移n个单位,则图形上各点的横坐标不变,纵坐标加上(或减去)n个单位(n0).2.对称引起的坐标变化依据关于x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律.3.与旋转有关的坐标变化通常构造直角三角形,利用勾股定理求相关线段的长度.【变式训练】1.(2017·宁夏中考)在平面直角坐标系中,点(3,-2)关于原点对称的点是()A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,-2)D.(3,2)【解析】选A.点(3,-2)关于原点对称的点的坐标是(-3,2).2.(2017·潍坊中考)小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是().A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,-2)D.(-1,-2)【解析】选B.根据题意可得,最右方的圆子即为坐标原点,所有棋子构成一个轴对称图形,故第四枚圆子在棋盘中心方子的上方,故位置是(-1,1).3.(2017·青岛中考)如图,若将△ABC绕点O逆时针旋转90°,则顶点B的对应点B1的坐标为()A.(-4,2)B.(-2,4)C.(4,-2)D.(2,-4)【解析】选B.若将△ABC绕点O逆时针旋转90°,则顶点B的对应点B1如图所示,其坐标为(-2,4).4.(2017·菏泽中考)如图,AB⊥y轴,垂足为B,将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置,使点B的对应点B1落在直线y=-x上,再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置,使点O1的对应点O2落在直线y=-x上,依次进行下去…若点B的坐标是(0,1),则点O12的纵坐标为________.3333【解析】观察图象可知,O12在直线y=-x上时,则∠BAO=30°,OO12=6·OO2=6(1++2)=18+6,∴O12的纵坐标=OO12=9+3.答案:9+333331233(2017·呼和浩特中考)下列中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是()A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)【解析】选A.根据轴对称的性质可知:对应点所连的线段被对称轴垂直平分.考点四与平移、旋转、对称相关的网格作图【示范题7】(2017·安徽中考)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC和△DEF(顶点为网格线的交点),以及过格点的直线l.(1)将△ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形.(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形.(3)填空:∠C+∠E=________°.【思路点拨】(1)将点A,B,C分别向右平移2个单位,向下平移2个单位得到其对应点,顺次连接即可.(2)分别作出点D,E,F关于直线l的对称点,顺次接连即可.(3)连接A′F′,利用勾股定理逆定理证△A′C′F′为等腰直角三角形即可.【自主解答】(1)(2)如图所示.(3)45【答题关键指导】网格中平移、旋转作图的要点(1)确定图形平移的方向、距离.(2)确定图形旋转的方向、旋转角.(3)借助网格确定图形上的关键点,以局部思