高中数学选修系列2选修2-2导数-课件

导数教材分析东城教研科研中心雷晓莉一、导数的地位和作用中学数学引入导数的内容使教学内容增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域。增加这部分内容，可以加强对学生的辩证思维的教育，使学生能以导数为工具研究函数的变化率，为解决函数极值问题提供更有效的途径、更简便的手段，加强对函数及其性质的深刻理解和直观认识；同时，使学生掌握一种科学的语言和工具，学习一种理性的思维模式.二、内容分析3.1导数的概念1.曲线的切线；2.在初中学过圆的切线，直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有唯一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx．直线与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．如图2.瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．3.导数的概念导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)△x是自变量x在处的增量(或改变量)．(2)导数定义中还包含了可导的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导，才能得到f(x)在点处的导数．(3)如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数。0x0x0x0x0x4.导数的几何意义函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0xx))(,(00xfxP0x))(,(00xfxP))(('000xxxfyy))(,(00xfxP0x3.2几种常见函数的导数公式1.=0（C为常数）(课本给出了证明)公式2.=(课本给出了证明)公式3.(课本没有给出了证明)公式4.(课本没有给出了证明)'c'n)(x1nnxcosx)sinx('sinx)cosx('3.3函数的和差积商的导数1.和（或差）的导数上一节学习了常见函数的导数公式，那么对于函数的导数，又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。我们不难发现，即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就是两个函数的和（或差）的求导法则。xxxxxxxxxfxxfxfxx)()()(lim)()(lim)('232300xxxxxxxxxxxxxxxxxxx23))(323(lim)(2)()(33lim22202322023)(xxxf2.积的导数两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。（具体过程见课本P120）说明：（1）；（2）若c为常数，则(cu)′=cu′'')'(vuuv3.商的导数两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以.现补充证明如下：设)()()(xvxuxfy)()()()()()()()()()()()()()()()()()u(xyxvxxvxvxxvxuxvxuxxuxvxxvxxvxuxvxxuxvxuxxvx)()()()()()()()(xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxuxy因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是△x→0时，v(x+△x)→v(x)，从而即.说明：（1）；（2）学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求.20)()(')()()('limxvxvxuxvxuxyx2''''vuvvuvuy'''vuvu2'''vuvvuvu3.4复合函数的导数复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。)'(yxy''3.5对数函数与指数函数的导数1.对数函数的导数(1)2.指数函数的导数(2)这四个公式都没有证明x1)lnx('elogx1)xlog(a'ax'xe)e(lnaa)a(x'x3.6函数的单调性㈠与增函数的关系.能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数在上R单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。0)(xf0)(xf3)(xxf0)(xf0)(xf)(xf函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知（1）分析的定义域；（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处数连续，则二区间就可以合并为以个区间。)(xfy)(xfy)(xfy0)(xf0)(xf)(xfy),(ba),(cbbxf)()(xf),(ca3.7函数的极值可以把使函数的点称为驻点,那么1.可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的，例如，在点x=0处有极小值f(0)=0，可是根本不存在，所以x=0不是f(x)的驻点.2.可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如的导数是,在点x=0处有,即点x=0是的驻点,但从f(x)在,上为增函数可知,点x=0不是f(x)的极值点.3.当函数f(x)在点附近连续时,判断是极大(小)值的方法是:(a)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值,(b)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.4.求可导函数极值的步骤如下:(1)求导数;(2)求方程;(3)检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.0)(xfxy)0(f'3x)x(f2'3x)x(f0)0('f3x)x(f),(0x)x(f00x0)(xf0)(xf)x(f00x0)(xf0)(xf)x(f0)x(f'0)(xf)x(f'3.8函数的最值求闭区间[a,b]上的可导函数的最大(小)值的方法是：首先求出此函数在开区间（a,b）内的驻点，然后计算函数在驻点与端点处的值，并将他们进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值.这里无需对各驻点讨论其是否为极大（小）值点。如果函数不在闭区间[a,b]上可导，那么求函数的最大（小）值时，不仅要比较此函数在各驻点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按照常理分析,此函数在这一开区间内应该有最大(小)值,(如果定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就一定有最大(小)值,让学生记住这个定理很有好处).然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个驻点,那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值,知道这一点是非常重要的,因为它在应用上较为简便,省去了讨论驻点是否为极值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点初的值进行比较等步骤.3.9微积分建立的时代背景和历史意义第一部分是微积分思想方法的萌芽、积累、诞生的历史回顾，着重围绕与大量实际问题相关的求曲线的切线及求函数的极值问题，阐述变量与极限思想；第二部分是微积分思想方法对数学科学及自然科学发展的作用；第三部分是牛顿、莱布尼茨发明微积分思想方法对我们的启发。文科:(与理科的区别)2.1导数的背景1.瞬时速度2.切线的斜率3.边际成本边际成本是西方经济学中的概念,即每增加一单位产量所增加的成本,而增加的成本就是增加的变动成本,由于边际收益的变动规律是先递增后递减,所以边际成本是先递减后递增的,因此边际成本曲线是一条先下降后上升的“U”字形曲线。产量总成本固定成本变动成本边际成本0330115312122263231133333074363333540337465435114770367162.2导数的概念这里有极限的数学思想,但对文科学生要求不是很高,课本上用定义求导的例题、习题都是二次函数的,是一个关于的一次是代数式，求极限比较容易，例如：求在x=-3处的导数.建议:这儿不宜加深xyx12xy2.12'y.12)x212(limxylim.x212x)x(2x12xy,)x(2x12]1)3(2[2]1)x3(2[y3x0x0x22222.3多项式函数的导数1.=0（C为常数）(课本给出了证明)2.=(课本给出了证明)3.导数的运算法则:2.4函数的单调性和极值2.5函数的最大值和最小值2.6微积分建立的时代背景和历史意义'c'n)(x1nnx).x(cf)]x(cf[);x(g)x(f)]x(g)x(f['''''三、课时安排：理科(19课时)3.1导数的概念3课时3.2几种常见函数的导数1课时3.3函数的和、差、