向量与三角函数创新题型

专题五向量与三角函数创新题型的解题技巧【命题趋向】综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对三角函数的考查有以下一些知识类型与特点：1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是sin()yAx的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中低档题，这些试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材.2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中档题.3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题.4.在一套高考试题中，三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题，或选择题与填空题1个，解答题1个，分值在17分—22分之间．5.在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点．【考点透视】1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义．3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义．6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx,arcosx,arctanx表示．7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．8．掌握向量与三角函数综合题的解法．常用解题思想方法1．三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=2－2等。（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=22basin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=ab确定。（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan2的有理式。2．证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3．证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4．解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。【例题解析】考点1．三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识.例1.（2007年重庆卷文）已知函数f(x)=)2sin(42cos2xx.（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）若角a在第一象限且3cos,5afa求（）.命题目的：本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..解：（Ⅰ）由Z),(2,202sinkkxkxx即得故f(x)的定义域为.Z,2|Rkkxx（Ⅱ）由已知条件得.54531cos1sin22aa从而)2sin()42cos(21)(aaaf＝aaacos4sin2sin4coscos21＝aaaaaaacoscossin2cos2cossin2cos12＝.514)sin(cos2aa例2.（2006年安徽卷）310.43aaa已知，tan+cos（Ⅰ）求tana的值；（Ⅱ）求225sin8sincos11cos822222sin()aaaaa的值－4.命题目的：本小题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.解答过程：（Ⅰ）10tancos3aa，23tan10tan30aa，解得1tan3a或tan3a.3,1tan04aa.1tan.3a（II）1tan3a，225sin8sincos11cos822222sin()4aaaaaa＝221cos5(sincos)4sin68222sincosaaaaaa＝4tan35tan14aa.例3（2007年四川卷理）已知0,1413)cos(,71cos且2,(Ⅰ)求2tan的值.（Ⅱ）求.命题目的：本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解：（Ⅰ）由1cos,072，得22143sin1cos177∴sin437tan43cos71，于是222tan24383tan21tan47143（Ⅱ）由02，得02又∵13cos14，∴221333sin1cos11414由得：coscoscoscossinsin113433317147142所以3例4.（2006年湖南卷）已知),,0(,1cos)cos()22sin(sin3求θ的值.命题目的：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..解：由已知条件得1coscos2cossin3.即0sin2sin32.解得0sin23sin或.由0＜θ＜π知23sin，从而323或.考点2．解三角形此类题目以考查正弦定理，余弦定理，两角差的正弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以及考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.典型例题例5．（2007年浙江卷理）已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．命题目的：本小题考查正弦定理、余弦定理和三角函数等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力.解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB．（II）由ABC△的面积11sinsin26BCACCC，得13BCAC，由余弦定理，得222cos2ACBCABCACBC22()2122ACBCACBCABACBC，所以60C．例6.（2006年天津卷））如图，在ABC中，2AC，1BC，43cosC．（1）求AB的值；（2）求CA2sin的值.命题目的：本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力.解答过程：（Ⅰ）由余弦定理，得2222..cosABACBCACBCC3412212.4那么，2.AB（Ⅱ）由3cos4C，且0,C得27sin1cos.4CC由正弦定理，得,sinsinABBCCA解得sin14sin8BCCAAB.所以，52cos8A.由倍角公式57sin2sin2cos16AAA，且29cos212sin16AA，故37sin2sin2coscos2sin8ACACAC.例7．（2007年福建卷文17）．在ABC△中，1tan4A，3tan5B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB边的长为17，求BC边的长．命题目的：本题主要考查三角函数的诱导公式、正弦定理及两角和公式等基础知识，考查运算能力.解：（Ⅰ）π()CAB，1345tantan()113145CAB．又0πC，3π4C．（Ⅱ）由22sin1tancos4sincos1AAAAA，，且π02A，，得17sin17A．sinsinABBCCA，sin2sinABCABC．考点3．求三角函数的定义域、值域或最值此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.⑵考查利用三角函数的性质,诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.⑶考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.典型例题例8.（2006年辽宁卷）已知函数11()(sincos)sincos22fxxxxx,则()fx的值域是（）A.1,1B.2,12C.21,2D.21,2命题目的：本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.sin()sin(),,.444,1.,,,.24fxxxxfxxfxACDxfx222解法1:()=当时()=故选C.222112解法2:当时()=知不可能.又由时()=知选C.222例9．（2007年陕西卷文17）设函数baxf、)(.其中向量2)2π(R,),1,sin1(),cos,(fxxbxma且.（Ⅰ）求实数m的值;（Ⅱ）求函数)(xf的最小值.命题目的：本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求最值的能力.解：（Ⅰ）()(1sin)cosfxmxxab，πππ1sincos2222fm，得1m．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sincos12sin14fxxxx，当πsin14x时，()fx的最小值为12．例10.（2006年北京卷）已知函数12sin(2)4()cosxfxx，（Ⅰ）求()fx的定义域；（Ⅱ）设是第四象限的角，且4tan3，求()f的值.命题目的：本题考查利用三角函数的性质,诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.解答过程：（Ⅰ）由cos0x得()2xkkZ.故fx的定义域为,2xxkkZ，（Ⅱ）因为43tan,cos,55且第四象限的角，所以43sin,cos,