不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集:设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、,acb42,则不等式的解的各种情况如下表:000二次函数cbxaxy2(0a)的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx2、简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;3)根据曲线显现()fx的符号变化规律,写出不等式的解集。如:xxx1120233、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB二、线性规划1、用二元一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,),把它的坐标(yx,)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点)3、线性规划的有关概念:①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件.②线性目标函数:关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫线性目标函数.③线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.④可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤:1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数;2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;3)依据线性目标函数作参照直线ax+by=0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.三、基本不等式2abab1、若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号2、如果a,b是正数,那么).(2号时取当且仅当baabba变形:有:a+b≥ab2;ab≤22ba,当且仅当a=b时取等号3、如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值P2如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值42S.注:1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等”4、常用不等式有:1)2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用);2)a、b、cR,222abcabbcca(当且仅当abc时,取等号);3)若0,0abm,则bbmaam(糖水的浓度问题)。不等式主要题型讲解一、不等式与不等关系题型一:不等式的性质1、对于实数cba,,中,给出下列命题:①22,bcacba则若;②babcac则若,22;③22,0bababa则若;④baba11,0则若;⑤baabba则若,0;⑥baba则若,0;⑦bcbacabac则若,0;⑧11,abab若,则0,0ab。其中正确的命题是______题型二:比较大小(作差法、函数单调性、中间量比较,基本不等式)2、设2a,12paa,2422aaq,试比较qp,的大小3、比较1+3logx与)10(2log2xxx且的大小4、若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba,则RQP,,的大小关系是.二、解不等式题型三:解不等式5、解不等式:04722xx01442xx6、解不等式2(1)(2)0xx。7、解不等式25123xxx8、不等式2120axbx的解集为{x|-1<x<2},则a=_____,b=_______9、关于x的不等式0bax的解集为),1(,则关于x的不等式02xbax的解集为10、解关于x的不等式2(1)10axax题型四:恒成立问题11、关于x的不等式ax2+ax+1>0恒成立,则a的取值范围是_____________12、若不等式22210xmxm对01x的所有实数x都成立,求m的取值范围.13、已知0,0xy且191xy,求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。三、基本不等式2abab题型五:求最值14、(直接用)求下列函数的值域1)y=3x2+12x22)y=x+1x15、(配凑项与系数)1)已知54x,求函数14245yxx的最大值。2)当时,求(82)yxx的最大值。16、(耐克函数型)求2710(1)1xxyxx的值域。注意:在应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()afxxx的单调性。17、(用耐克函数单调性)求函数2254xyx的值域。18、(条件不等式)1)若实数满足2ba,则ba33的最小值是.2)已知0,0xy,且191xy,求xy的最小值。3)已知x,y为正实数,且x2+y22=1,求x1+y2的最大值.4)已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=1ab的最小值.题型六:利用基本不等式证明不等式19、已知cba,,为两两不相等的实数,求证:cabcabcba22220、正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc21、已知a、b、cR,且1abc。求证:1111118abc题型七:均值定理实际应用问题:22、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图),如果池外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建筑单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价。四、线性规划题型八:目标函数求最值23、满足不等式组0,087032yxyxyx,求目标函数yxk3的最大值24、已知实系数一元二次方程2(1)10xaxab的两个实根为1x、2x,并且102x,22x.则1ba的取值范围是25、已知,xy满足约束条件:03440xxyy,则222xyx的最小值是26、已知变量230,330.10xyxyxyy满足约束条件若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围为。27、已知实数xy,满足121yyxxym,,.如果目标函数zxy的最小值为1,则实数m等于题型九:实际问题28、某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元,售价50元;凤梨月饼每个成本20元,售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒,个数不超过10个,售价不超过350元,问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个,可使利润最大?又利润最大为多少?不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习---不等式1、②③⑥⑦⑧;2、pq;3、当01x或43x时,1+3logx>2log2x;当413x时,1+3logx<2log2x;当43x时,1+3logx=2log2x4、∵1ba∴0lg,0lgba21Q(pbabalglg)lglgQababbaRlg21lg)2lg(∴RQP。5、6、{|1xx或2}x;7、(1,1)(2,3));8、不等式2120axbx的解集为{x|-1<x<2},则a=___-6____,b=__6_____9、),2()1,().10、解:当a=0时,不等式的解集为1xx;2分当a≠0时,a(x-a1)(x-1)<0;当a<0时,原不等式等价于(x-a1)(x-1)>0不等式的解集为11xxxa或;.......................................................................................................6分当0<a<1时,1<a1,不等式的解集为11xxa;.....................................................................8分当a>1时,a1<1,不等式的解集为11xxa;..........................................................................10分当a=1时,不等式的解为φ.....................................................................................................................12分11、0≤x<412、12m)13、,16m14、解:1)y=3x2+12x2≥23x2·12x2=6∴值域为[6,+∞)2)当x>0时,y=x+1x≥2x·1x=2;当x<0时,y=x+1x=-(-x-1x)≤-2x·1x=-2∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)15、1)解5,5404xx,11425434554yxxxx231当且仅当15454xx,即1x时,上式等号成立,故当1x时,max1y。2)当,即x=2时取等号当x=2时,(82)yxx的最大值为8。16、解析一:当,即时,421)591yxx((当且仅当x=1时取“=”号)。解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt)当,即t=时,4259ytt(当t=2即x=1时取“=”号)。17、解:令24(2)xtt,则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt,但1tt解得1t不在区间2,,故等号不成立,考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增,所以在其子区间2,