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第1页（共11页）2020年湖南省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|x≤1}，则满足A∩B＝A的集合B可以是（）A．{x|x≤0}B．{x|x≤2}C．{x|x≥0}D．{x|x≥2}2．（5分）若（4﹣mi）（m+i）≥0，其中i为虚数单位，则实数m的值为（）A．﹣2B．﹣4C．4D．23．（5分）已知向量＝（2，2），＝（1，a），若||＝1，则•＝（）A．2B．4C．6D．84．（5分）已知函数f（x）＝2sin（πx+1），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．2B．1C．4D．5．（5分）在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．12C．24D．366．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”．三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷100枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是（）A．30B．40C．50D．607．（5分）已知抛物线x2＝﹣4y的准线与双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．B．5C．D．2第2页（共11页）8．（5分）已知二进制数1010（2）化为十进制数为n，若（x+a）n的展开式中，x7的系数为15，则实数a的值为（）A．B．C．1D．29．（5分）若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知倾斜角为α的直线过定点（0，﹣2），且与圆x2+（y﹣1）2＝1相切，则的值为（）A．B．C．﹣D．11．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于2+2，则球O的体积等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈[1，e]的最小值为3，若存在x1，x2…xn∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）＝f（xn），则正整数n的最大值为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝log2（x+y+1）的最大值为．14．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若a2sinC＝5sinA，（a+c）2＝16+b2则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x+y的第3页（共11页）最大值为．16．（5分）已知曲线C1：f（x）＝﹣ex﹣2x，曲线C2：g（x）＝ax+cosx，（1）若曲线C1在x＝0处的切线与C2在x＝处的切线平行，则实数a＝．（2）若曲线C1上任意一点处的切线为l1，总存在C2上一点处的切线l2，使得l1⊥l2则实数a的取值范围为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）设数列{an}满足：a1＝1，且2an＝an+1+an﹣1（n≥2），a3+a4＝12．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点．（1）证明：平面ADE⊥平面PAB；（2）若PE＝λEC，F是PB的中点，AD＝，AB＝AP＝2CD＝2，且二面角F﹣AD﹣E的正弦值为，求λ的值．第4页（共11页）19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：x﹣y+2＝0与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点M（0，m），使|+2|＝|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（12分）甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”，第二轮为“轮流坐庄答题环节”•首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题：第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推．例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依此类推……．当两人共计答完20道题游戏结束，假设由第5页（共11页）第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为Pn（1≤n≤20），其中P1＝1，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是，如果某位同学有机会答第n道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立：两轮答题完毕总得分高者胜出．回答下列问题．（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由．（2）①求第二轮答题中P2，P3；②求证为等比数列，并求Pn（1≤n≤20）的表达式．21．（12分）已知对数函数f（x）过定点（其中e≈2.71828…）函数g（x）＝n﹣mf′（x）﹣f（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数，n，m为常数）．（1）讨论g（x）的单调性（2）若对∀x∈（0，+∞）有g（x）≤n﹣m恒成立，且h（x）＝g（x）+2x﹣n在x＝x1，x2（x1≠x2）处的导数相等，求证：h（x1）+h（x2）＞7﹣2ln2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）第6页（共11页）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点P（﹣2，0），直线1交曲线C于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|，x∈R．（1）解不等式：f（x）≤5；（2）记f（x）的最小值为M，若实数ab满足a2+b2＝M，试证明：．第7页（共11页）参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.B5.B6.C7.C8.A9.C10.D11.A12.B二、填空题13．214．215．1616．（1）﹣2；（2）﹣≤a≤1．三、解答题：17．解：（1）依题意，由2an＝an+1+an﹣1（n≥2）可知数列{an}是等差数列．设等差数列{an}的公差为d，则a3+a4＝（a1+2d）+（a1+3d）＝2+5d＝12，解得d＝2．∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，＝＝（﹣），设数列{}的前n项和为Tn，则Tn＝+++…+++＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣．18．解：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，又AB⊥AD，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面PAB；（2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，第8页（共11页）则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），C（，1，0），D（，0，0），F（0，1，1），由（1）知，AD⊥PB，又PB⊥AF，故PB⊥平面ADF，＝（0，2，﹣2），PE＝λEC，所以，所以，设平面ADE的法向量为，由，得，二面角F﹣AD﹣E的正弦值为，所以|cos＜＞|＝，即，得λ＝1或4．19．解：（1）由已知得，解得，b＝，c＝，∴椭圆C的方程为；第9页（共11页）（2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣8＝0．△＝16（8k2﹣m2+2）＞0①，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，由，得，即，即x1x2+y1y2＝0，故8k2＝5m2﹣8≥0，代入①式解得m＞或m＜﹣．20．解：（1）设甲选出的3道题答对的道数为ξ，则ξ～（3，），设甲第一轮答题的总得分为x，则x＝10ξ﹣5（3﹣ξ）＝15ξ﹣15，∴Ex＝15Eξ﹣15＝15×3×﹣15＝15，设乙第一轮得分为y，则y的所有可能取值为30，15，0，则P（y＝30）＝＝，P（y＝15）＝＝，P（y＝0）＝＝，∴y的分布列为：y30150PEy＝＝12，∵Ex＞Ey，∴第二轮最先开始答题的是甲．（2）①依题意得P1＝1，P2＝，第10页（共11页）P3＝＝．②证明：依题意有Pn＝Pn﹣1×+（1﹣Pn）×＝﹣+（n≥2），∴Pn﹣＝﹣（Pn﹣1﹣），n≥2，∵P1﹣＝，∴{}是以为首项，以﹣为公比的等比数列，∴，∴Pn＝．（1≤n≤20）．21．解：（1）令f（x）＝logax（a＞1且a≠1），将代入得a＝e，所以f（x）＝lnx，得，求导，（x＞0），当m≤0时，g′（x）＜0在x＞0时恒成立，即g（x）在（0，+∞）单调递减；当m＞0时，g′（x）＞0，则0＜x＜m，g′（x）＜0，则x＞m，即g（x）在（0，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减；综上，当m≤0时，g（x）在（0，+∞）单调递减；当m＞0时，g（x）在（0，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减；（2）证明：因为g（1）＝n﹣m，而∀x∈（0，+∞），有g（x）≤n﹣m＝g（1）恒成立知g（x）当x＝1时有最大值g（1），由（1）知必有m＝1，所以，所以，依题意，设h′（x1）＝h′（x2）＝k，即，所以，所以x1+x2＝x1x2≥，所以x1x2＞4，所以＝2x1x2﹣1﹣lnx1x2，令t＝x1x2＞4，φ（t）＝2t﹣1﹣lnt，所以，所以φ（t）在t＞4单调递增，所以φ（t）＞φ（4）＝7﹣2ln2．第11页（共11页）所以h（x1）+h（x2）＞7﹣2ln2．（二）选考题解：（1）已知曲线C：（α为参数），转换为直角坐标方程为（x+1）2+y2＝4．直线l的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为，整理得x﹣y+2＝0．（2）由于点P（﹣2，0）在直线1上，所以转换为参数方程为（t为参数），代入（x+1）2+y2＝4，得到：，所以：，t1t2＝﹣3，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．解：（1）f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|＝．∵f（x）≤5，∴或1≤x≤4或，∴4＜x≤5或1≤x≤4或0≤x＜1，∴0≤x≤5，∴不等式的解集为{x|0≤x≤5}．（2）由（1）知，f（x）min＝M＝3，∴a2+b2＝M＝3，∴＝＝，当且仅当a2＝1，b2＝2时等号成立，∴．日期：2020/3/2016:35:07；用户：LS_ZS_NEW_209542；邮箱：LS_ZS_NEW_209542.20689995；学号：28023324