2014年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷

梦想不会辜负每一个努力的人12014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、满足1ziz（i的虚数单位）的复数z=A、1122iB、1122iC、1122iD、1122i2、对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p、2p、3p，则A、123pppB、123pppC、132pppD、132ppp3、已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=321xx，则(1)(1)fgA、3B、1C、1D、34、51(2)2xy的展开式中23xy的系数是A、-20B、-5C、5D、205、已知命题p：若xy，则-x-y：命题q：若xy，在命题①pq②pq③()pq④()pq中，真命题是A、①③B、①④C、②③D、②④6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t，则输出的S属于A、[-6,-2]B、[-5,-1]C、[-4，5]D、[-3,6]梦想不会辜负每一个努力的人27、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于A、1B、2C、3D、48、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为A、2pqB、(1)(1)12pqC、pqD、(1)(1)1pq9、已知函数发()sin(x)fx，且230()0xfxdx，则函数()fx的图象的一条对称轴是A、5x=6B、x=712C、x=3D、x=610、已知函数21()-(0)2xfxxex与2()ln()gxxxa的图象在存在关于y轴对称点，则a的取值范围是A、1-e（，）B、-e（，）C、1-ee（，）D、1-ee（，）二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分（一）选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4的直线l与曲线2cos:1sinxaCya（a为参数）交于A，B两点，且2AB.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是_________。12.如图3，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC,3AB,22BC，则O的半径等于________。13．若关于x的不等式23ax的解集为51|33xx，则a=________.(二)必做题(14-16题)梦想不会辜负每一个努力的人314.若变量x,y满足约束条件,4,,yxxyyk且2zxy的最小值为-6，则k_______。15.如图4正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(ab),原点O为AD的中点，抛物线2y2(0)pxp经过C、F两点，则ba_________。16．在平面直角坐标系中，O为原点A(1,0),B(0,3),C(30)动点D满足1CD，则OAOBOD的最大值是__________。三、解答题：本大题共6小题．共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分l2分)某企事业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立。(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率；(Ⅱ)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望18．（本小题满分l2分）如图5，在平面四边形ABCD中，1,2,7ADCDAC（Ⅰ）求cosCAD的值（Ⅱ）若721cos,sin146BADCBA，求BC的长19.（本小题满分l2分）如图6，四棱柱1111ABCDABCD的所有棱长都相等，11111,ACBDOACBDO，四边形11ACCA和四边形11BDDB均为矩形。（Ⅰ）证明：1OO底面ABCD；（Ⅱ）若60CBA，求二面角11COBD的余弦值。梦想不会辜负每一个努力的人420.（本小题满分13分）已知数列na满足111,,.nnnaaapnN（Ⅰ）若na是递增数列，且123a,2a,3a成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若12p，且12na是递增数列，2na是递减数列，求数列na的通项公式。21、如图7，O为坐标原点，椭圆1C:2222xy+=1ab（ab0）的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为1e：双曲线2C：2222xy-=1ab的左、右焦点分别为3F，4F，离心率为2e。已知12ee=32，且24=3-1FF。（Ⅰ）求1C、2C的的方程；（Ⅱ）过1F做1C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与2C交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值22、已知常数a0，函数2()ln(1)2xfxaxx。梦想不会辜负每一个努力的人5（Ⅰ）讨论f（x）在区间0+（，）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点1x、2x，且f（1x）+f（2x）0，求a的取值范围梦想不会辜负每一个努力的人6参考答案1-5BDCAC6-10DBDAB11.2sin4212.3213.-314.-215.2116.2317.解：（1）设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为23,35，则23122()11353515PB，再根据对立事件概率之间的公式可得13()1()15PAPB，所以至少一种产品研发成功的概率为1315（2）由题可得，设该企业可获得利润为，则的取值有0，120+0，100+0，120+100，即=0，120，100，220由独立试验的概率计算公式可得：232(0)113515P234(120)13515P231(100)1355P232(220)355P所以的分布列如下：则数学期望24120120100220151555E322088130.18.解：0100120220()P2151541525梦想不会辜负每一个努力的人7（1）在ADC中，由余弦定理可得22271427cos2727ACADCDCADACAD（2）设BAC，则BADCAD因为27cos7CAD，7cos14BAD所以222721sin1cos177CADCAD227321sin1cos11414BADBAD于是sinsin()BADCADsincoscossinBADCADBADCAD3212772114714732在ABC中，由正弦定理，得sinsinBCACCBA故37sin23sin216ACBCCBA19.（1）证明：因为四边形11ACCA为矩形，所以1CCAC又因为点O是AC的中点，点1O是11AC的中点，所以11//OOCC，所以1OOAC同理，在矩形11BDDB中，可得1OOBDBD和AC是平面ABCD的两条相交的直线，故可得，1OO底面ABCD（2）方法一：如图（a），过1O做11OHOB于H，连接1HC由（1）知，1OO底面ABCD，所以1OO底面1111ABCD，于是111OOAC梦想不会辜负每一个努力的人8又因为四棱柱1111ABCDABCD的所有棱长都相等，所以四边形1111ABCD是菱形，因此1111BDAC，从而11AC平面11BDDB，所以，111ACOB，于是1OB平面11OHC进而11OBCH，故11CHO是二面角11COBD的平面角。不妨设2AB，因为60CBA，所以13,1,7OBOCOB在11RtOOB中，易知11111327OOOBOHOB，而111OC，于是得2211111219177CHOCOH故1111322577cos19197OHCHOCH即二面角11COBD的余弦值为25719方法二：因为四棱柱1111ABCDABCD的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD，又1OO底面ABCD，从而1,,OBOCOO两两垂直。如图（b），以O为坐标原点，1,,OBOCOO坐在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz。设2AB，因为60CBA，所以3,1OBOC，梦想不会辜负每一个努力的人9于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(3,0,2),(0,1,2)OBC，易知1(0,1,0)n是平面11BDDB的一个法向量设2(,,)nxyz是平面11OBC的一个法向量，则32020xzyz取3z，则2,23xy，所以2(2,23,3)n，设二面角11COBD的大小为，易知是锐角，于是121223257cos||||1919nnnn故二面角11COBD的余弦值为2571920.解：（1）因为数列{}na是递增数列，所以11||nnnnnaaaap而11a，令1,2n，得到2231,1apapp又因为123,2,3aaa是等差数列，所以21343aaa因而230pp解得0p或13p当0p时，1nnaa，这与{}na是递增数列矛盾，故舍去，所以13p（2）由于21{}na是递增数列，因而21210nnaa，于是212221()()0nnnnaaaa①因为2211122nn，所以212221||||nnnnaaaa②由①②知，2210nnaa因此212221211(1)22nnnnnaa③因为2{}na是递减数列，同理可得，2120nnaa梦想不会辜负每一个努力的人10故22121221(1)22nnnnnaa④由③④可知，11(1)2nnnnaa于是121321()()...()nnnaaaaaaaa2111(1)1...222nn1111211212n141(1)332nn故数列{}na的通项公式是141(1)332nnna21.解：（1）因为1232ee，所以222232ababaa，即44434aba因此222ab从而24(,0),(3,0)FbFb，于是243||31bbFF所以21,2ba故12,CC的方程分别为222212:1,:122xxCyCy（2）因为AB不垂直于y轴，且过点1(1,0)F，故可设直线AB的方程为1xmy，由22112xmyxy得22(2)210mymy易知此方程的判别式大于0，设1122(,),(,)AxyBxy，则12,yy是上述方程的两个实根所以12122221,22myyyymm因此121224()22xxmyym，梦想不会辜负每一个努力的人11于是AB的中点为222,22mmm，故直线PQ的斜率为2m，PQ的方程为2myx，即20mxy由22212myx