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中考数学真题汇编:图形的相似一、选择题1.已知，下列变形错误的是（）A.B.C.D.【答案】B2.已知与相似，且相似比为，则与的面积比（）A.B.C.D.【答案】D3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm【答案】C4.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A.（5，1）B.（4，3）C.（3，4）D.（1，5）【答案】C5.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】D6.在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为()A.B.或C.D.或【答案】B7.如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、.对于下列结论：①；②；③.其中正确的是（）∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=AED=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确A.①②③B.①C.①②D.②③【答案】A8.如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若，则等于（）A.2B.3C.D.【答案】A9.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为()A.B.C.D.【答案】C10.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D11.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。A.B.2C.D.4【答案】A12.如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若的半径为4，，则PA的长为（）A.4B.C.3D.2.5【答案】A二、填空题13.如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为________．【答案】1:914.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.【答案】215.矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数________.【答案】3或1.216.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为________．【答案】17.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为________．【答案】218.在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,AD、BE相交于点F，且AF=4,EF=,则AC=________．【答案】19.如图，在矩形中，，点为线段上的动点，将沿折叠，使点落在矩形内点处.下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）①当为线段中点时，；②当为线段中点时，；③当三点共线时，；④当三点共线时，.【答案】①③④20.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O，则AB=________.【答案】三、解答题21.为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)【答案】解：如图，∵FM//BD，∴∠FED=∠MFE=45°，∵∠DEF=∠BEA，∴∠AEB=45°，∴∠FEA=90°，∵∠FDE=∠ABE=90°，∴△FDE∽△ABE，∴，在Rt△FEA中，∠AFE=∠MFE+∠MFA=45°+39.3°=84.3°，tan84.3°=，∴，∴AB=1.8×10.02≈18，答：旗杆AB高约18米.22.如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG，于点E，BF⊥AG于点F，设。（1）求证：AE=BF；（2）连接BE，DF，设∠EDF=，∠EBF=求证：（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．【答案】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAF+∠EAD=90°，又因为DE⊥AG，所以∠EAD+∠ADE=90°，所以∠ADE=∠BAF，又因为BF⊥AG，所以∠DEA=∠AFB=90°，又因为AD=AB所以Rt△DAE≌Rt△ABF，所以AE=BF（2）易知Rt△BFG∽Rt△DEA，所以在Rt△DEF和Rt△BEF中，tanα=，tanβ=所以ktanβ=====tanα所以（3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，所以△ABG的面积等于k因为△ABD的面积等于又因为=k，所以S1=所以S2=1-k-=所以=-k2+k+1=≤因为0＜k＜1，所以当k=，即点G为BC中点时，有最大值23.如图，以的直角边为直径作交斜边于点，过圆心作，交于点，连接.（1）判断与的位置关系并说明理由；（2）求证：；（3）若，，求的长.【答案】（1）解：DE是圆O的切线证明：连接OD∵OE∥AC∴∠1=∠3，∠2=∠A∵OA=OD∴∠1=∠A∴∠2=∠3在△BOE和△DOE中OE=OD，∠2=∠3，OE=OE∴△BOE≌△DOE（SAS）∴∠ODE=∠OBE=90°∴OD⊥DE∴DE是圆O的切线（2）解：证明：连接BD∵AB是直径∴∠BDC=∠ADB=∠ABC=90°∵OE∥AC，O是AB的中点∴OE是△ABC的中位线∴AC=2OE∵∠BDC=∠ABC，∠C=∠C∴△ABC∽△BDC∴∴BC2=2CD•OE∵BC=2DE，∴（2DE）2=2CD•OE∴（3）解：∵设：BD=4x，CD=3x∵在△BDC中，，∴BC=2DE=5∴（4x）2+（3x）2=25解之：x=1，x=-1（舍去）∴BD=4∵∠ABD=∠C∴AD=BD•tan∠ABD=24.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值。【答案】（1）或或.（2）证明：∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴=，即CA2=BC·AD，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC·AB，∴△ABC是比例三角形.（3）解：如图，过点A作AH⊥BD于点H,∵AB=AD,∴BH=BD,∴AD∥BC，∠ADC=90°,∴∠BHA=∠BCD=90°,又∵∠ABH=∠DBC,∴△ABH∽△DBC,∴=,∴AB·BC=DB·BH,∴AB·BC=BD2,又∵AB·BC=AC2,∴BD2=AC2,∴=.