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《考研真相》《阅读基础90篇》《考研圣经》《写作160篇》《考研英语3+1特种试卷》文登精编的高数小结论1111．等价无穷小（xxxx→0000）2(1).sintan1ln[1]sinarctan1(2).1cos2(3).(1)1(4).1ln(5).11(6).11(7).log(1)lnxaxnnaxxxexarcxxxxxaxaxaxxnxxnxxa−+−+−−−−+−+∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼2222．200||221sintan1cos2xxxxxxxππ−时时3333．lim(1)lim1,limlimVUVUVUe−==∞=如果则4.4.4.4.()()()()22fxfxfxfx+−−−表示偶函数，表示奇函数5555．:()()limlim[()]xxLykxbyfxfxkbfxkxx→∞→∞=+===−∞+∞−∞直线为函数的渐近线的充分必要条件为：这里的包括和6666．常见函数的导数((((记熟后解题快))))2111()'()'()'(1ln)2xxxxxxxxx==−=+7.7.7.7.关于nnnn阶导数的几个重要公式()()()()()()()()11()()1(sin)sin()(cos)cos()22(sin)sin()(cos)cos()22()!()()(ln)1!()()()1(1)!(1)(1)!()[ln()]()()nnnnnnnnxnxnxnxnnnnnnnnnxxxxnnkxkxkxkxxnaaaneetxtxnntxtxtxtxππππ+−+=+=+=+=+====−−−−−=+=+++n《考研真相》《阅读基础90篇》《考研圣经》《写作160篇》《考研英语3+1特种试卷》8.8.8.8.泰勒公式((((用来求极限))))3524652323332333333sin()cos1()3!5!2!4!1()ln(1)()2!3!23(1)(1)(2)(1)1()2!3!1tan()cot()3311arcsin()arccos626xaxxxxxxoxxoxxxxxexoxxxoxaaaaaxaxxxoxxxxxoxxoxxxxxoxxxxπ=−++=−++=+++++=−++−−−+=++++=++=−+=++=−−33333333()arctan()321tan(tan)()sin(sin)()33oxxxxoxxxxoxxxxox+=−+=++=−+9999．重要不定积分(22)2(21)(21)21(21)(21)sec(sec)(sec)(tan)(sin)(sin)cos(sin)(tan)(cos)nnnnnnndxxdxxdxxdxxxxxxx++++++===∫∫∫∫2(21)(21)[1(cot)]cot(cos)sin(cot)nnndxxdxxxx+++=−∫∫1tan1cos2xdxCx=++∫12tansec1sin1tan2dxxxCCxx−=−+=+++∫222(sec)(tan)(tan)(tan)(tan)(sec)1(tan)nnnxdxxdxxdxxxx==+∫∫∫222(csc)(cot)(cot)(cot)(cot)(csc)1(cot)nnnxxdxxdxxdxxx==−+∫∫∫tanln|cos|cotln|sin|xdxxCxdxxC=−+=+∫∫secln|sectan|cscln|csccot|xdxxxCxdxxxC=++=−+∫∫221(sin)sin2241()sin224xxdxxCxcoxdxxC=−+=++∫∫《考研真相》《阅读基础90篇》《考研圣经》《写作160篇》《考研英语3+1特种试卷》22(tan)tan(cot)cotxdxxxCxdxxxC=−+=−−+∫∫22222222221arctanln||1ln||2arcsindxxCxaaadxxxaCxadxxaCxaaxadxxCaax=++=+±+±−=+−+=+−∫∫∫∫222222222222arcsin22ln||22axxaxdxaxCaaxxadxxxaxaC−=+−+−=±+±+±+∫∫2222cos(cossin)sin(sincos)axaxaxaxeebxdxabxbbxCabeebxdxabxbbxCab=+++=−++∫∫10101010．y=sinwx(w0)y=sinwx(w0)y=sinwx(w0)y=sinwx(w0)它的半个周期与xxxx轴围成的面积为s=2s=2s=2s=2/w/w/w/w把它的半个周期分成三等分,,,,中间的那部分面积为ssss’’’’=1/w=1/w=1/w=1/w显然s=2ss=2ss=2ss=2s’’’’03232sin1'sinπππ====∫∫11.11.11.11.定积分部分（1111）如果函数ffff（xxxx）在[-a,a][-a,a][-a,a][-a,a]上连续000(f())()[()()]2()(())aaaaxfxdxfxfxdxfxdxfx−=+−=∫∫∫如果为奇函数如果为偶函数（2）22cos0sin0(cos)(sin)kxdxkxdxkxdxkxdxππππππππππ−−−−====∫∫∫∫《考研真相》《阅读基础90篇》《考研圣经》《写作160篇》《考研英语3+1特种试卷》(3),,,cossin0coscos0sinsin0klNklkxlxdxkxlxdxkxlxdxππππππ+−−−∈≠===∫∫∫设且则(4).设f(x)f(x)f(x)f(x)是以周期为TTTT的连续函数2020(1).()()()(2).()()TaTTTaanTTafxdxfxdxfxdxfxdxnfxdx+−+===∫∫∫∫∫(5).特殊积分200220220021(0)sin(0,0)cos(0,0)sinx2uaxptpteduedxaawewtdtpwpwpewtdtpwpwdxxππ+∞−+∞−+∞−+∞−+∞===+=+=∫∫∫∫∫(6).关于三角函数定积分简化((((注意：f(x)f(x)f(x)f(x)是定义在[0,1][0,1][0,1][0,1]上的函数))))222200002200022000020(1)(sin)(cos)(sin)(cos)(2)(sin)2(sin)2(cos)(sin)2(sin)2(cos)0()(3)(cos)2(cos)(4)(sinnnnnnnnfxdxfxdxxdxxdxfxdxfxdxfxdxxdxxdxxdxnxdxxdxππππππππππππ=======∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫特别的特别的为奇数（n为偶数）202020202200200())4(sin)0()(5)(cos)4(cos)(6)(sin)(cos)1352(7)(sin).........()2431351.........()2422(nnnnnnnnxdxxdxnxdxxdxxdxxdxnnnxdxnnnnnnnnnnnππππππππ===−−−=−−−−−=−−∫∫∫∫∫∫∫为奇数（n为偶数）为奇数（n为偶数）为正奇数为正偶数008)(sin)(sin)2xfxdxfxdxπππ=∫∫《考研真相》《阅读基础90篇》《考研圣经》《写作160篇》《考研英语3+1特种试卷》11.11.11.11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/xy=1/xy=1/xy=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|y=|x|y=|x|y=|x|）12.12.12.12.如何证明一个数列是发散的？（1111）只要找到的两个子数列收敛于不同的值（2222）找一个发散的子数列13.13.13.13.必记极限00!(1)lim0(2)lim1(3)limln0(4)lim1(5)lim0!nnnnxxxnnnnnxxxan++→∞→∞→→→∞=====14.14.14.14.函数f(x)f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b][a,b]有定义，且|f(x)||f(x)||f(x)||f(x)|在[a,b][a,b][a,b][a,b]上可积，此时f(x)f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b][a,b]上的积分不一定存在列如：1()-1xfxx=为有理数为无理数15151515．注意'()0()(,)()()(,)()();()fafxaxaafxfaxaafxfafxUδδδ∀∈−∀∈+若，只能得到结论：在点严格增加。即有有但不能得到结论：在（a,）内单调增大16161616．21,2⇔设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x-3x+2)的可导的点显然为17171717....函数取得极值的第二充分条件(1)00000()0()00()000()'()''()'''()()0()0(2)(1)2()0()(2)2()0()()nnnnfxnfffffnnkffnkfffxxxxxxxxxxx−=====≠≤=⇒=⇒⋯⋯设在处阶可导，且且为极大值且为极小值(3)n=2k+1不是极值点18181818....拐点的第二充分条件0(1)()000000()''()'''()()0()0(,())nnfxnfffffxxxxxxx−====≠⋯⋯设在处阶可导（n2且为奇数）若，则为拐点19191919....用求导法判断数列的单调性《考研真相》《阅读基础90篇》《考研圣经》《写作160篇》《考研英语3+1特种试卷》{}{}12121212(),(){}(2){}()nnnnnnnfAAIfxIAAAAAAfxIAA+−=∈↗↘设A若在区间上单调递增则：(1)注意：若在区间上单调递减则：与两数列具有相反的单调性20202020....''()0'()fxfx≠⇒题目中如果出现单调21212121．2ln(1)(0)xxxx++→∼22222222．无穷小小谈0(1)0()(2)0()()()()(3)0()()(4),0()()()()()mnmnnmmnnmnmnmnmnxnmxoxnmoxoxoxoxnmoxxomnxoxoxoxoxox−++→≤⇒=≤⇒+=≤⇒=⇒==ii当时，有当当当注意：两个不可以相除当23232323．无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？11111lim()1()0(,1,2,3)!123(!)1!!!!(!)nnnnnnnnnnnnnknknnnnnnnn→∞++++=→→∞===⋯⋯⋯⋯⋯⋯哈哈！显然都是NO之和：其中有无穷多个之积：取其中显然24242424．反三角1(1)arctanarctan2,02(2)arcsin(sin),2xxtttttπππππ+=≤≤=−≤≤25252525．21212min12()||1()()24aaAbxbdxaaAbaa=−+==−∫求的最小值结论：当b时《考研真相》《阅读基础90篇》《考研圣经》《写作160篇》《考研英语3+1特种试卷》26262626....()02baabxdx+−=∫27272727．10ln1xdx=−∫28282828．1100119900(1)(1)(1)(1)mnnmxxdxxxdxxxdxxxdx−=−−=−∫∫∫∫作用：这下就好求了29292929．0000()()1()[()()]20()()1()[()()]2bbaabbaabbbbfxdxfabxdxfxdxfxfabxdxafxdxfbxdxfxdxfxfbxdx=+−=++−==−=+−∫∫∫∫∫∫∫∫若f(x)在[a,b]上可积则特别的当时，有如下推论：（1）（2）30303030．22000,11111()()[()()]2fxdxfdxfxfdxxxxx+∞+∞+∞==+∫∫∫若f(x)在[a,b]上可积则：313131