选修4-5--不等式选讲

第1页共23页选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式突破点(一)绝对值不等式的解法基础联通抓主干知识的“源”与“流”(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a{}x|－axa∅∅|x|a{}x|xa或x－a{}x∈R|x≠0R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”绝对值不等式的解法[典例]解下列不等式：(1)|2x＋1|－2|x－1|0.(2)|x＋3|－|2x－1|x2＋1.[解](1)法一：原不等式可化为|2x＋1|2|x－1|，两边平方得4x2＋4x＋14(x2－2x＋1)，解得x14，所以原不等式的解集为x|x14.法二：原不等式等价于x－12，－2x＋1＋2x－10本节主要包括2个知识点：1.绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式.第2页共23页或－12≤x≤1，2x＋1＋2x－10或x1，2x＋1－2x－10.解得x14，所以原不等式的解集为x|x14.(2)①当x－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)x2＋1，解得x10，∴x－3.②当－3≤x12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)x2＋1，解得x－25，∴－3≤x－25.③当x≥12时，原不等式化为(x＋3)＋(1－2x)x2＋1，解得x2，∴x2.综上可知，原不等式的解集为x|x－25或x2.绝对值不等式的常用解法[方法技巧](1)基本性质法：对a∈R＋，|x|a⇔－axa，|x|a⇔x－a或xa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．求不等式|x－1|－|x－5|2的解集．解：不等式|x－1|－|x－5|2等价于第3页共23页x1，－x－1＋x－52或1≤x≤5，x－1＋x－52或x5，x－1－x－52，即x1，－42或1≤x≤5，2x8或x5，42，故原不等式的解集为{x|x1}∪{x|1≤x4}∪∅＝{x|x4}．2．解不等式x＋|2x＋3|≥2.解：原不等式可化为x－32，－x－3≥2或x≥－32，3x＋3≥2.解得x≤－5或x≥－13.所以原不等式的解集是x|x≤－5或x≥－13.3．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝－3，x≤2，2x－7，2x5，3，x≥5.当2x5时，－32x－73，所以－3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15即为x2－8x＋18≤0，解集为空集；当2x5时，f(x)≥x2－8x＋15即为x2－10x＋22≤0，解集为{x|5－3≤x5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15即为x2－8x＋12≤0，解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}．4.已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．第4页共23页(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式可化为x≥a，x－a＋3x≤0或xa，a－x＋3x≤0，即x≥a，x≤a4或xa，x≤－a2.结合a0，解得x≤－a2，即不等式f(x)≤0的解集为x|x≤－a2.∵不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，∴－a2＝－1，故a＝2.突破点(二)绝对值三角不等式基础联通抓主干知识的“源”与“流”绝对值三角不等式定理(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”证明绝对值不等式[例1]已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.[证明]∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1.即|x＋5y|≤1.[方法技巧]证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．第5页共23页绝对值不等式的恒成立问题[例2]设函数f(x)＝x＋|x－a|.(1)当a＝2017时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2x－f(x)恒成立时a的取值范围．[解](1)由题意得，当a＝2017时，f(x)＝2x－2017，x≥2017，2017，x2017.因为f(x)在[2017，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的值域为[2017，＋∞)．(2)由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min2.而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，所以|1＋a|2，解得a1或a－3.故a的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]设函数f(x)＝x＋1a＋|x－a|(a0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)5，求a的取值范围．解：(1)证明：由a0，有f(x)＝x＋1a＋|x－a|≥x＋1a－x－a＝1a＋a≥2.当且仅当a＝1时等号成立．所以f(x)≥2.(2)f(3)＝3＋1a＋|3－a|.当a3时，f(3)＝a＋1a，由f(3)5得3a5＋212.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋1a，由f(3)5得1＋52a≤3.综上，a的取值范围是1＋52，5＋212.2．[考点二](2017·保定模拟)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a∈R)．(1)当a＝4时，求不等式f(x)≥5的解集；第6页共23页(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝4时，不等式即为|x－1|＋|x－4|≥5，等价于x1，－2x＋5≥5或1≤x≤4，3≥5或x4，2x－5≥5，解得x≤0或x≥5，故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}．(2)因为f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，所以f(x)min＝|a－1|，故|a－1|≥4，解得a≤－3或a≥5.故a的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．3．[考点一]已知函数f(x)＝ax2＋x－a的定义域为[－1,1]．(1)若f(0)＝f(1)，解不等式|f(x)－1|ax＋34；(2)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54.解：(1)f(0)＝f(1)，即－a＝a＋1－a，则a＝－1，所以f(x)＝－x2＋x＋1，所以不等式化为|－x2＋x|－x＋34，①当－1≤x0时，不等式化为x2－x－x＋34，解得－32x0；②当0≤x≤1时，不等式化为－x2＋x－x＋34，解得0≤x12.综上，原不等式的解集为x|－32x12.(2)证明：由已知x∈[－1,1],所以|x|≤1，又|a|≤1，则|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－|x|－122＋54≤54.4．[考点一](2017·开封模拟)设函数f(x)＝|x－a|，a0.(1)证明：f(x)＋f－1x≥2；(2)若不等式f(x)＋f(2x)12的解集非空，求a的取值范围．解：(1)证明：函数f(x)＝|x－a|，a0，则f(x)＋f－1x＝|x－a|＋－1x－a第7页共23页＝|x－a|＋1x＋a≥x－a＋1x＋a＝x＋1x＝|x|＋1|x|≥2|x|·1|x|＝2(当且仅当|x|＝1时取等号)．(2)f(x)＋f(2x)＝|x－a|＋|2x－a|，a0.当x≤a时，f(x)＋f(2x)＝a－x＋a－2x＝2a－3x，则f(x)＋f(2x)≥－a；当axa2时，f(x)＋f(2x)＝x－a＋a－2x＝－x，则－a2f(x)＋f(2x)－a；当x≥a2时，f(x)＋f(2x)＝x－a＋2x－a＝3x－2a，则f(x)＋f(2x)≥－a2，则f(x)＋f(2x)的值域为－a2，＋∞，不等式f(x)＋f(2x)12的解集非空，即为12－a2，解得，a－1，由于a0，则a的取值范围是(－1,0)．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集．第8页共23页解：(1)由题意得f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1x≤32，－x＋4，x32，故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.故f(x)1的解集为{x|1x3}，f(x)－1的解集为xx13或x5.所以|f(x)|1的解集为xx13或1x3或x5.2．(2016·全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，即x－a2＋12－x≥3－a2.又x－a2＋12－xmin＝12－a2，所以12－a2≥3－a2，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；第9页共23页(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－1x1时，不等式化为3x－20，