集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.AB⇔A⊆B，A≠B.既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.两集合相等：A＝B⇔A⊆B，A⊇B.A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.考点一集合的基本概念[典例](1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0(2)已知a，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019的值为()A．1B．0C．－1D．±1[解析](1)因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.(2)由已知得a≠0，则ba＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.[答案](1)B(2)C[提醒]集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选A若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于()A.92B.98C．0D．0或98解析：选D若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝23，符合题意．当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98，所以a的值为0或98.3.（2018·厦门模拟）已知P={x|2xk,x∈N},若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为.解析：因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5k≤6.答案：（5，6］考点二集合间的基本关系[典例](1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则()A．B⊆AB．A＝BC．ABD．BA(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为()A．2B．3C．4D．8(3)已知集合A＝{x|－1x3}，B＝{x|－mxm}，若B⊆A，则m的取值范围为________．[解析](1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x0}＝{x∈N*|0x3}＝{1,2}，又B⊆A，∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22＝4，故选C.(3)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m0时，因为A＝{x|－1x3}．若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，所以－m≥－1，m≤3，－mm.所以0m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．[答案](1)C(2)C(3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A不变，C＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆B⊆C的集合B的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选D因为A＝{1,2}，由题意知C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．解析：若A⊆B，由－m≤－1，m≥3得m≥3，∴m的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－40，解得－2m2；②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－52，此时B＝2，12，不合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三集合的基本运算考法(一)集合的运算[典例](1)(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝()A．{－1,1}B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{2,3,4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－40}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤2}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．(2)依题意得A＝{x|x－1或x4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．[答案](1)C(2)D考法(二)根据集合运算结果求参数[典例](1)已知集合A＝{x|x2－x－120}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x4}，则实数m的取值范围是()A．(－4,3)B．[－3,4]C．(－3,4)D．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝()A．3B．2C．2或3D．3或1[解析](1)集合A＝{x|x－3或x4}，∵A∩B＝{x|x4}，∴－3≤m≤4，故选B.(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}解析：选C因为集合B＝{x|－1x2，x∈Z}＝{0,1}，而A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lgx2}，则(∁RA)∩B＝()A.12，100B.12，2C.12，100D．∅解析：选A由题意得A＝－1，12，B＝(0,100)，则∁RA＝(－∞，－1)∪12，＋∞，所以(∁RA)∩B＝12，100.3．(2019·合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝x∈R12a≤x≤2a－1，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞)B.12，1C.23，＋∞D．(1，＋∞)解析：选A因为A∩B≠∅，所以2a－1≥1，a－1≥12a，解得a≥1.[课时跟踪检测]1．(2019·福州质量检测)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1x≤4}，则集合A∩B中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的个数为2.2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝()A．{2,6}B．{3,6}C．{1,3,4,5}D．{1,2,4,6}解析：选A因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}解析：选B∵全集为R，B＝{x|x≥1}，∴∁RB＝{x|x＜1}．∵集合A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M＝{x|x4}，集合N＝{x|x2－2x0}，则下列关系中正确的是()A．M∩N＝MB．M∪(∁RN)＝MC．N∪(∁RM)＝RD．M∪N＝M解析：选D由题意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以M∪N＝M.5．设集合A＝x12≤2x2，B＝{x|lnx≤0}，则A∩B为()A.0，12B．[－1,0)C.12，1D．[－1,1]解析：选A∵12≤2x2，即2－1≤2x2，∴－1≤x12，∴A＝x－1≤x12.∵lnx≤0，即lnx≤ln1，∴0x≤1，∴B＝{x|0x≤1}，∴A∩B＝x0x12.6．(2019·郑州质量测试)设集合A＝{x|1x2}，B＝{x|xa}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选D由A∩B＝A，可得A⊆B，又因为A＝{x|1x2}，B＝{x|xa}，所以a≥2.7．已知全集U＝A∪B中有m个元素，()∁UA∪()∁UB中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mnB．m＋n12C．n－mD．m－n解