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南京航空航天大学第1页（共6页）二○○七～二○○八学年第二学期《图论与代数》考试试题考试日期：2008年7月5日试卷类型：A试卷代号：班号学号姓名题号一二三四五六七八九十总分得分一、H，K都是群G的子群，证明：①H∩K也是G的子群。②H∪K是G的子群当且仅当H⊆K或K⊆H。本题分数10分得分第2页（共6页）二、G是含有16个元素的循环群，a是G的一个生成元，求G中所有的生成元和所有的子群，并指出哪些子群是G的正规子群。请说明理由。三、请在下图中给出一条从b出发的欧拉回路。该图是不是哈密尔顿图？为什么？本题分数10分得分本题分数10分得分abcfhdeg第3页（共6页）四、①轮换f=(123)(647),g=(346)(157),求gf,f-1g以及f和g在群S7中的阶。②求S7中阶为4的元素的个数，写出求解过程。五、T={ab,ac,cd}是下图的一棵生成树，求关于树T的基本回路系统和基本割集系统。本题分数10分得分本题分数10分得分acdb第4页（共6页）六、G是简单无向图，证明：G是二部图(即二分图)当且仅当G中任意回路的长度是偶数。七、设R是可交换环，a∈R，令Ra={ax|x∈R}，证明：Ra是R的子环。本题分数10分得分本题分数10分得分第5页（共6页）八、证明：每个简单平面图都包含一个次至多为5的顶点。并进一步用数学归纳法证明每个简单平面图是6可点着色的。九、G={000,001,010,100,011,101,110,111},对任意G中元素a1a2a3和b1b2b3,定义运算+为a1a2a3+b1b2b3=c1c2c3,其中ci=(ai+bi)(mod2),设H={011,110,001,101}，请判断G,+,H,+是否为群，请证明你的判断。若G和H都是群，请写出H在G中的所有右陪集。本题分数10分得分本题分数10分得分第6页（共6页）十、求下图的邻接矩阵，并用邻接矩阵的乘法求下列通（回）路数目。写出求解过程。①a到c的长度分别为1，2，3，4通路的条数。②图中所有长度等于4的回路的条数。本题分数10分得分acbd