数学归纳法复习课件

第7课时数学归纳法目录2014高考导航考纲展示备考指南了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列有关的命题是高考命题的热点．2.题型为解答题，着重考查数学归纳法的应用及学生的逻辑推理能力，难度中、高档.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤：(1)(归纳奠基)证明当n取___________(n0∈N＋)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当_________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0n＝k＋1目录思考探究第一个值n0是否一定为1呢？提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第一个值n0应该为3.目录课前热身1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4答案：C目录解析：选C.等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋16n－1(n∈N＋)，则f(1)为()A．1B.15C．1＋12＋13＋14＋15D．非以上答案目录3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)＝()A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2解析：选D.f(n＋1)－f(n)＝1n＋2＋1n＋3＋…＋1n＋n＋1n＋1＋n＋1n＋1＋n＋1－1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2，故选D.目录解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2.答案：k＋24．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝2(1n＋2＋1n＋4＋…＋12n)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．目录答案：2k5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N*，n1)”时，由n＝k(k1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．目录考点1用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N*)．【证明】(1)当n＝1时，等式左边＝12×1×2×1＋2＝18，等式右边＝14×1＋1＝18.等式左边＝等式右边，所以等式成立．考点探究讲练互动例1考点突破目录(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥1)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1，则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋1[2k＋1＋2]＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2＝k＋124k＋1k＋2＝k＋14k＋2＝k＋14k＋1＋1＝k＋14k＋1＋1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)、(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立．目录【题后感悟】(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几；(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．目录跟踪训练1．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2[1＋12－1]＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(n∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，目录f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1k＋1]－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．目录例2考点2用数学归纳法证明不等式设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋1an(n＝1,2，…)．证明：an＞2n＋1对一切正整数n都成立．【证明】当n＝1时，a1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＞2k＋1成立．那么当n＝k＋1时，a2k＋1＝a2k＋1a2k＋2＞2k＋3＋1a2k＞2(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，ak＋1＞2k＋1＋1成立．综上，an＞2n＋1对一切正整数n都成立．目录【方法提炼】用数学归纳法证明不等式时常常用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．事实上，在合理运用归纳假设后，可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立．目录跟踪训练2.用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．证明：①当n＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，命题成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，目录则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由①②可知，命题对所有的n∈N*都成立．目录考点3归纳—猜想—证明(2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．例3目录【解】(1)将n＝1,2,3分别代入可得a1＝32，a2＝74，a3＝158，猜想an＝2－12n.(2)证明：①由(1)得n＝1时，命题成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即ak＝2－12k，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，∴2ak＋1＝2＋2－12k，ak＋1＝2－12k＋1，即当n＝k＋1时，命题也成立．根据①、②得，对一切n∈N*，an＝2－12n都成立．目录【方法提炼】“归纳—猜想—证明的模式”，是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式．目录跟踪训练3．由下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：1＋12＋13＋…＋12n－1＞n2(n∈N*)．用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，1＞12，猜想成立；目录(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋12k－1＞k2.则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1＞k2＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1＞k2＋2k2k＋1＝k＋12，即当n＝k＋1时，猜想也正确，所以对任意的n∈N*，不等式都成立．目录1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．2．对于证明等式问题，在证n＝k＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法；证明几何命题时，关键在于弄清由n＝k到n＝k＋1的图形变化．方法感悟目录3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明.由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写．目录名师讲坛精彩呈现例(本题满分12分)(2013·张家界高三模拟)在各项为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝12an＋1an.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．规范解答归纳—猜想—证明的规范解答目录【解】(1)S1＝a1＝12a1＋1a1，得a21＝1.∵an＞0，∴a1＝1分由S2＝a1＋a2＝12a2＋1a2，得a22＋2a2－1＝0，∴a2＝2－1.2分又由S3＝a1＋a2＋a3＝12a3＋1a3，得a23＋22a3－1＝0，∴a3＝3－2.1目录(2)猜想an＝n－n－1(n∈N*)．分证明如下：①当n＝1时，a1＝1＝1－0，猜想成立．②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝k－k－1，6分则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak＋1＋1ak＋1－12ak＋1ak，2目录即ak＋1＝12ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12ak＋1＋1ak＋1－k，9分∴a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，∴ak＋1＝k＋1－k.11分即n＝k＋1时猜想成立．由①②知，an＝n－n－1(n∈N*).12分43目录抓关键促规范令n＝1，求得a1＝1，是第一个得分点．正确猜想出an＝n－n－1(n∈N*)是进一步证明的关键.利用归纳假设是数学归纳法必不可少的步骤，只能对n＝k利用假设．由假设转化为关于ak＋1的一元二次方程是本题求解的失分点.1234目录【方法提炼】(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放