高中-向量-例题详解总汇(1)(含答案)

向量一、基本知识结构二、教学重点和难点1．理解向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算。2．平面向量的数量积3．平面向量的分解定理三、考点1．向量的概念，向量的几何表示；2．向量的加法与减法；3．实数与向量的积，两个向量共线的充要条件；4．向量的数量积，计算向量的大小、方向，两向量垂直的充要条件；5．向量的坐标表示、坐标运算；6．向量的分解定理7．向量的应用四、课堂教学实施策略本章节中，向量的概念是通过举例反映概念实质的具体对象，并充分发挥几何图形的直观特点，使学生在感性认识的基础上建立概念；数量积的概念是通过严格的定义给出，和学生一起分析满足定义的充要条件；向量的运算，可以借助几何直观，并通过与数的对比引入，便于学生接受。五、教学后的建议注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，尽可能让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、抽象、概括。同时注意数学思想方法的渗透和应用。六、典型例题向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示向量的坐标运算物理学中的运用几何中的运用两向量平行两向量垂直向量的夹角向量的模两点间的距离（一）向量有关概念：例1：判断下列各命题是否正确：(1)零向量没有方向；(2)若baba则,；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若共起点,则终点也相同；(6)若ba，cb，则ca；(7)若ba//，cb//，则ca//；(8)若四边形ABCD是平行四边形,则DABCCDB,A；(9)ba的充要条件是||||ba且ba//；分析：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。解：(1)不正确，零向量方向任意；(2)不正确，只是说明模相等，还有方向；(3)不正确，单位向量的模为1，方向很多；(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式；(5)正确，(6)正确，向量相等有传递性；(7)不正确，因若0b，则不共线的向量ca,也有0//a，c//0；(8)不正确,如图ADBCDB,CA；(9)不正确，当ba//，且方向相反时，即使||||ba，也不能得到ba。点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；长度为0的向量叫零向量，零向量的方向是任意的；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性。（二）向量的加、减法例2：化简)()(BDACCDAB分析：本题考查向量的加、减法，及相关运算律。解法一：（统一成加法）)()(BDACCDAB=BDCADCABBDACCDAB=0CADCBDAB解法二（利用BAOBOA）)()(BDACCDAB=BDACCDAB=BDCDACAB)(=0BDDBBDCDCB解法三（利用OAOBAB）设O是平面内任意一点，则)()(BDACCDAB=BDACCDAB=)()()()(OBODOAOCOCODOAOB=0OBODOAOCOCODOAOB点评：掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律。例3：在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则PBC与ABC的面积之比是()A．13B．12C．23D．34分析：本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解。解：由ABPCPBPA，得0PCBAPBPA,即2PCAP，所以点P是CA边上的第二个三等分点，如图所示。故23PBCABCSBCPCSBCAC．（三）向量数乘运算及其几何意义例4：设21,ee是不共线的向量，已知向量2121212,3,2eeCDeeCBekeAB，若A,B,D三点共线，求实数k的值分析：证明存在实数，使得BDAB解：214eeCBCDBD,使BDAB)4(22121eeeke得84,2kk点评：A、B、C三点共线的一个充要条件是存在实数λ，使得AC→=λAB→．例5：已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PC→=mPA→+nPB→，且m+n=1．分析：很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC→、AB→，对此，我们不妨利用PC→=PA→＋AC→来转化，以便进一步分析求证。证明：充分性，由PBnPAmPC，m＋n=1，得BCAPBCAPABnPAABnPAnmABPAnPAmACPA)()(∴ABnAC．∴A、B、C三点共线．必要性:由A、B、C三点共线知，存在常数λ，使得ABAC，即)(PBAPPCAP，PBPAPBAPPC)1()1(m=1－λ，n=λ，m＋n=1，PBnPAmPC。点评：逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识。这是一个重要结论，要牢记。例6：已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE分析：由平行四边形的对角线互相平分和相等向量的定义可得。证明：∵E是对角线AC和BD的交点∴AE=EC=CE,BE=ED=DE在△OAE中，OA+AE=OE同理OB+BE=OE，OC+CE=OE，OD+DE=OE以上各式相加，得OA+OB+OC+OD=4OE点评：用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译。（四）平面向量的坐标表示与运算例7：已知A(2,4)、B(3,1)、C(3,4)，且CACM3，CBCN2，求点M、N的坐标及向量MN的坐标。分析：利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。解：∵A(2,4)、B(3,1)、C(3,4)，∴)3,6(),8,1(CBCA，∴CACM3=3(1，8)=(3，24)，CBCN2=2(6，3)=(12，6)设),(yxM，则)4,3(yxCMAODCB因此24433yx得200yx，∴)20,0(M同理可得N(9,2)，∴MN=(90，220)=(9，18)点评：需灵活运用向量的坐标运算公式。例8：已知向量)sin1,21(),1,sin1(ba，若ba//，则锐角等于（）A．30B．45C．60D．75分析：已知ba,的坐标，当求ba//时，运用两向量平行的充要条件x1y2x2y1=0可求sin值。解：(1sin)(1+sin)21=0，cos2=21，故选B。点评：数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键．本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到。（五）平面向量的数量积例9：已知3||,2||ba，ba,的夹角为1200，求||)4();3()2)(2(;)2(;)1(22bababababa分析：直接用定义或性质计算解：3)21(32120cos||||)1(0baba79642)(||)4(3427158||3120cos||||5||2352)3)(2)(3(594||||)2(222202222222bbaabababbaabbaababababa点评：注意公式2223253ababaabb（）（），当知道,ab的模及它们的夹角可求1234xaxbxaxb（）（）的数量积，反之知道1234xaxbxaxb（）（）的数量积及,ab的模则可求它们的夹角。例10：在△ABC中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值。分析：注意分情况计论。解：当A=90时，ABAC=0，∴2×1+3×k=0∴k=23当B=90时，ABBC=0，BC=ACAB=(12,k3)=(1,k3)∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=311当C=90时，ACBC=0，∴1+k(k3)=0∴k=2133点评：0baba是一个常用的结论。例11：已知||2||0ab，且关于x的方程2||0xaxab有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A.[0,6]B.[,]3C.2[,]33D.[,]6分析：要求两向量夹角θ的取值范围，可先求cos的取值范围。解：由关于x的方程0||2baxax有实根，得:2||4aab≥021||4aba.设向量,ab的夹角为θ，则cosθ=||||abab,又,0||2||ba221||14cos12||2aa，∴θ∈],3[.[答案]B.（六）平面向量基本定理例12：在△OAB中，OBODOAOC21,41，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，用a,b表示OM.分析：若21,ee是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用21,ee线性表示。本例中向量a,b可作基底，故可设OM=ma+nb，为求实数m,n，需利用向量AM与AD共线，向量CM与CB共线，建立关于m,n的两个方程。解：设OM=ma+nb，则(1)AMmanb,12ADabABCQRP∵点A、M、D共线，∴AM与AD共线，∴5.011nm，∴m+2n=1.①而CMOMOC1()4manb，14CBab∵C、M、B共线，∴CM与CB共线，∴14141nm，∴4m+n=1.②联立①②解得:m=71，n=73，∴1377OMab例13：已知P是ABC所在平面内一点，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为S。证明：只有唯一的一点P使得S与P重合。分析：要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量AP可用一组基底唯一表示。证明：设,ABaACb，则111()[()]222ASARACABAQAC111428ABACAP,由题设知:ASAP711842APABAC2477APab由于a,b是确定的向量，所以AP是唯一的一个向量，即ABC所在平面内只有唯一的一点P使得S与P重合.点评：解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把其它相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相应的值。（七）平面向量的应用例14：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线。求证AC⊥BD。分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件。证法一：∵AC＝AB+AD，BD＝ADAB，∴AC·BD＝(AB＋AD)·(ADAB)＝|AD|2|AB|2＝0∴AC⊥BD证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(0，0)，A(a，b)，C(c，0)，则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2∵AC＝BC－BA＝(c，0)(a，b)＝(ca，b)，BD＝BA＋BC＝(a，b)＋(c，0)＝(c＋a，b)，∴AC·BD＝c2a2b2＝0∴AC⊥BD即AC⊥点评：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便。通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现