联赛冲击波之代数恒等变形热身篇

联赛冲击波之代数恒等变形热身篇崔梦迪一个不亲自检查桥梁每一部分的坚固性就不过桥的旅行者，是不可能走远的；同样在数学中，有些事情亦须冒险——拉姆（HoraceLamb）早就想写点东西，但一直懒得动笔，一直拖到了现在。不知不觉高端班的第一期课程已过去大半，很多同学都已逐渐的适应了联赛的巧思维和大运算，但有的同学可能还“痛并快乐着”，甚至有的同学可能还摸不着头脑……但是不管现在我们处于一种什么样的状态，时间还在继续，如何在这个相持的时刻把握好自己的学习方向就显得尤为重要了！几种态度要不得！做任何事其实都是一样的：态度决定了一切！在竞联赛备战的过程中，有几种状态是不可以有的！§一：不想当将军的士兵并不是好士兵，目标要远大！很多学生进到联赛班，都是抱着“做几道难题在中考的时候不怕难题了”的思想来的。有了这样的思想作祟，就导致听课做题有了很多的选择性：难题就觉得中考不考，简单题有觉得没意思。这种思想本身没有错，但是在初一伊始，却是千万要不得了！不想当将军的士兵并不是好士兵，不妨把自己的目标放远大一点，反正已经学了，就把它学好，把每道题研究明白，慢慢的你就会觉得数学是一门很神奇的学科！§态度二：眼高手也高，过程演绎很重要！从严格意义上来说，初中数学是没有特别夸张的题目的。很多题一开始做你会觉得特别的难，但是多做几遍，把一些关键的地方想清楚，弄明白，就很简单了。但是也正是因为这样，很多同学就养成了“想当然”的坏毛病！很多题目都不去研究，而是脑子一闪觉得会了，就扔了。结果就导致自己觉得学的很明白，结果一考试就出问题了！所以眼高手更高，要把我们见到的每一道题的过程写清楚：一道题能做出来是一种境界，能零丢分的把答案写出来是另一种境界，能把答案写的让人拍案叫绝才叫好过程！写过程的最高境界，就是一道题本身不会做，结果写着写着就把答案写出来了。§态度三：勤思考，多练习，思维的惰性要不得！数学是思维的体操，做数学一定要勤思考，多练习，要有冒险精神。正如引文中英国数学家拉姆所说：一个不亲自检查桥梁每一部分的坚固性就不过桥的旅行者，是不可能走远的；同样在数学中，有些事情亦须冒险。只有自己亲自去不断地尝试，不断地从失败中总结经验，你才能真的体会到胜利所带给你的愉悦！所以，在平时的学习中，千万不要等老师，千万不要觉得自己研究题目是浪费时间。其实做老师最大的悲哀就是没有激发和唤醒学生沉睡的思维！不要害怕失败，勇敢的去面对每一道题目吧！那么下面我们就通过几篇代数恒等变形的练习，来看一下数学的神奇魅力吧！思维训练一：一题多解多益处，反向提问散思维【题目重现】：已知：1xy，求：333xxyy.【题目分析】：这道题目难度并不是很大，但是方法却很多。但细数下来，无外乎有三类：利用立方和公式、利用完全立方公式和利用重要公式。【知识点回顾】：立方和公式：3322()()ababaabb完全和公式：33223()33abaababb重要公式：333222()()3abcabcabcabacbcabc对于重要公式有一个非常重要的结论：若0abc，则：3333abcabc.※方法一：横驱直入，套用立方和公式解：∵1xy∴33333()3xxyyxyxy22222()()32()1xyxxyyxyxxyyxy【题目总结】：因为题目中出现了33xy，巧妙的利用了立方和公式，代入1xy，转化成了平方和公式，很奇妙!※方法二：1的妙用，巧用完全立方解：∵1xy∴3333331xxyyxxyy33322333()33()1xxyxyyxxyxyyxy【题目总结】：因为题目中出现了333xxyy，联想到了完全立方公式中的1,3,3,1，但少了一个3，这时巧妙的利用的1xy，把3xy转化成3()xyxy，建立起题目和立方和公式的关系。当然这道题也可以将1xy左右同时三次方，但远没有1的妙用神奇.※方法三：颠倒乾坤，妙用重要公式解：∵1xy∴10xy∴333333(1)31xxyyxyxy3(1)313311xyxyxyxy【题目总结】：因为题目中出现了3x和3y，在我们所学的公式中，出现三次方的公式除了立方和与完全立方公式，还有重要公式！但重要公式怎么用呢？我们想到了重要公式的一个非常重要的结论：若0abc，则：3333abcabc.因为题中给出了1xy，可以构造出：10xy，进而构造出333(1)xy，它正好等于3xy，从而得到答案，是不是有一种颠倒乾坤的感觉啊！有了这三类解法的拓展，是不是已经很爽了？下面我们来在深入的研究一下：这道题倒过来问能不能得到结果呢？【深入研究】：已知：3331xxyy，求：.xy【题目分析】：在上述三种解法中，前两种解法都反复利用了1xy，这两种方法能不能用在这道题中呢？其实也可以，需要设xyt，但最终对于t的转化就有点困难了，比较主流的方法是构造一元二次方程，利用判别式去处理，比较麻烦。那么第三种解法可以吗？对于3331xxyy，可以通过移项把它转化成重要公式：333(1)3(1)xyxy，进而利用重要公式的另外一个重要的结论：222333()()3abcabacbcabcabcabc这里是一个缺2式从而得出结论，过程如下：解:∵3331xxyy∴33310xxyy即：333(1)3(1)0xyxy∴33322(1)3(1)(1)(1)0xyxyxyxyxyxy若10xy，则：1xy.若2210xyxyxy，则：222()(1)(1)0xyxy可知：1xy，此时，2xy.综上,xy等于1或2.思维训练二：多练多想勤思考，三个不如两个好【题目重现】：求多项式2228171642080Paabbab的最小值。【题目分析】：这道题目也不难：典型的配方题目！而对于配方的题目，我们要重点关注“2倍乘积”，这道题中的“2倍乘积”包括：8ab、16a和4b.对于16a需要2a，4b需要2b，8ab需要2a和2b，很自然想到：需要把22a拆成22aa，进而得出答案。过程如下：解：∵2228171642080Paabbab2222222(816)(1664)(44)2012(4)(4)(2)20122012aabbaabbabab∴2012P（当4,2ab时取最小值）.【题目反思】：题目做完了，但有没有一种奇怪的感觉呢？不要觉得理所当然：题目中只有ab、两个未知数，最终我们配完方后，却出现了三个完全平方式：2(4)ab、2(4)a和2(2)b.当P取最小值时，它们三个要同时取到最小值——零！而更神奇的是，当4,2ab时，它们确实同时取到零了，出题人很仁慈！那是不是所有的题目都会是这样的呢？我们来稍微修改一下。【题目变式】：求多项式22281716222080Paabbab的最小值。【题目分析】：这道题目和上一道题目看起来好像是一样的，只是偷偷的将4b换成了22b，那这道题能不能用上面的解法做呢？我们来试一下：【错误解法】：解：∵22281716222080Paabbab2222222(816)(1664)(22121)(4)(4)(1118271827)7182aababbaabbab∴1827P（当4,11ab时取最小值）.【错因分析】：显然，当4,11ab时，2(4)ab、2(4)a和2(11)b是不能同时取到最小值零的.那该怎么解呢？失败不可怕，可怕的是失败后我们没有认真地分析错因，没有能从错误的解法中爬出来！刚才之所以失败，是因为题中只有两个未知数a和b，我们却构造出了三个完全平方公式：三个不如两个好！大胆的设想一下：我们能不能构造出两个完全平方公式呢？可以把题目中的8ab和16a提取公因式，然后再进行配方，就把三个完全平方式转化成了两个，如下：【正确解法】：解：∵22281716222080Paabbab22222222222222222(816)1722208028(2)172220802[4(2)]172220802[4(2)4(2)]8(2)172220802(24)95420482(24)9(6)20482(24)9(69)19aababbababbababbababbbbabbbabbbabbb22672(24)9(3)19671967abb∴1967P（当10,3ab时取最小值）.思维训练三：大胆心细多观察，绝处逢生巧整体【题目重现】：若1xyzyzzxxy，求：222xyzyzzxxy.【题目分析】：这道题目非常的诡异！已知中只给出了1xyzyzzxxy，却最终要求得：222xyzyzzxxy的结果。xyz变成2xyz需要乘以x，yzx变成2yzx需要乘以y，zxy变成2zxy需要乘以z。怎么才能达到这样的效果呢？可以给xyzyzzxxy乘以xyz，但比较讨厌的是会多出一些东西！以xyz为例，其除了要乘x，还要乘y和z，但是乘y和z显然都不舒服，但却神奇的发现：乘以yz可以巧妙地将分母消掉，真是柳暗花明又一村啊！过程如下：解：∵()()xyzxyzyzzxxy222xyzxyzyzzxxy而1xyzyzzxxy∴222xyzxyzxyzyzzxxy即：2220xyzyzzxxy.好了，同学们，通过这几道题目的训练，你有没有体会到恒等变形的乐趣呢？多多的练习吧，多多的思考吧，下一篇会有更神奇的东西在等着你探索，加油吧！最后，留一道练习题，认真思考一下吧：若：2220xyzyzxzxy，则：_______.xyzyzxzxy