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和任何人呵呵呵1.2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系学习目标核心提炼1.知道匀速直线运动的位移与v－t图象中矩形面积的对应关系。1种方法——极限思想解决问题的方法1个公式——位移与时间关系式x＝v0t＋12at22种图象——x－t和v－t图线的特点及应用2个重要推论——2.了解位移公式的推导方法，感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法。3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式。会应用此关系式对匀变速直线运动问题进行分析和计算。4.知道什么是x－t图象，能应用x－t图象分析物体的运动。一、匀速直线运动的位移1.位移公式：x＝vt。2.在v－t图象中的表示位移：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积。如图所示阴影图形面积就等于物体t1时间内的位移。思维拓展如图1所示，质点在5s内的位移是多大？图1答案0～3s位移x1＝v1t1＝9m和任何人呵呵呵3～5s位移x2＝－v2t2＝－4m故0～5sx＝x1＋x1＝5m。二、匀变速直线运动的位移1.在v－t图象中的表示位移：(1)微元法推导①把物体的运动分成几个小段，如图2甲，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积。所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积之和。②把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移。图2③把整个过程分得非常非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移。(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图象与对应的时间轴所包围的面积。2.位移与时间的关系面积即位移：x＝12（v0＋v）t速度公式：v＝v0＋at⇨x＝v0t＋12at2思维拓展由匀减速直线运动的位移公式x＝v0t－12at2可知，当时间t足够长时，位移x可能为负值。位移为负值表示什么意思？答案位移为负值，表明物体先向正方向做匀减速运动，当速度减为零以后，又沿负方向做匀加速直线运动，故随和任何人呵呵呵着时间的推移总位移可能沿正方向先增加再减小，然后沿负方向增加，故位移为负值。表明物体返回到出发点后继续向负方向运动。三、用图象表示位移(x－t图象)1.x－t图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象。2.常见的x－t图象(1)静止：一条平行于时间轴的直线。(2)匀速直线运动：一条倾斜的直线。思维拓展做直线运动的物体在某段时间内的位移—时间图象如图3所示。试分析物体在t＝0到t＝6s内的运动情况，并画出该物体的速度—时间图象。图3解析由x－t图象可以看出，物体在0～2s内的位移均匀增大，且为正值，故物体沿规定的正方向运动，速度v1＝Δx1Δt1＝102m/s＝5m/s。在2～4s内，物体的位移没有变化，则v2＝Δx2Δt2＝0，物体处于静止状态。在4～6s内，物体的位移先为正值且逐渐减小，后为负值且逐渐增大，速度v3＝Δx3Δt3＝－10－106－4m/s＝－10m/s，“－”号表示物体运动方向与规定的正方向相反。由此可作出物体运动的v－t图象如图所示。答案见解析和任何人呵呵呵匀变速直线运动位移公式的理解与应用[要点归纳]1.公式的适用条件：公式x＝v0t＋12at2只适用于匀变速直线运动。2.公式的矢量性：公式x＝v0t＋12at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。通常有以下几种情况：运动情况取值匀加速直线运动a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)匀减速直线运动a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)位移为正值说明位移的方向与规定的正方向相同位移为负值说明位移的方向与规定的正方向相反3.公式的两种特殊形式(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。(2)当v0＝0时，x＝12at2(由静止开始的匀加速直线运动)。[精典示例][例1](2018·安庆高一检测)一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5m/s，加速度大小为a＝0.5m/s2，求：(1)物体在3s内的位移大小；(2)物体在第3s内的位移大小。思路探究(1)两问分别求的是哪段时间内的位移？(2)选用什么公式来求解位移？解析(1)用位移公式求解，3s内物体的位移x3＝v0t3＋12(－a)t23＝5×3m－12×0.5×32m＝12.75m。(2)同理2s内物体的位移x2＝v0t2＋12(－a)t22＝5×2m－12×0.5×22m＝9m因此，第3s内的位移x＝x3－x2＝12.75m－9m＝3.75m。和任何人呵呵呵答案(1)12.75m(2)3.75m误区警示关于x＝v0t＋12at2的注意点(1)利用公式x＝v0t＋12at2计算出的物理量是位移而不是路程。(2)物体做匀减速运动时，若以初速度v0的方向为正方向，a仅表示加速度的大小，这时的位移公式可表示为x＝v0t－12at2。(3)因为位移公式是一元二次函数，故x－t图象是一条抛物线(一部分)。[针对训练1]某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3m/s时，物体已运动的时间为()A.1.25sB.2.5sC.3sD.6s解析x＝v0t＋12at2，知v0＝0.5m/s，a＝2m/s2，据v＝v0＋at＝3m/s，得t＝1.25s，故选A项。答案A对x－t图象的认识[要点归纳]1.x－t图象的物理意义：x－t图象反映了物体的位移随时间的变化关系，图象上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移。2.x－t图象的应用位移大小初、末位置的纵坐标差的绝对值方向末位置与初位置的纵坐标差的正负值，正值表示位移沿正方向，负值表示位移沿负方向速度大小斜率的绝对值方向斜率的正负，斜率为正，表示物体向正方向运动；斜率为负，表示物体向负方向运动运动开始位置图线起点纵坐标运动开始时刻图线起点横坐标和任何人呵呵呵两图线交点的含义表示两物体在同一位置(相遇)[精典示例][例2](多选)如图4所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知()图4A.t＝0时，A在B的前面B.B在t2时刻追上A，并在此后跑在A的前面C.B开始运动的速度比A小，t2时刻后才大于A的速度D.A运动的速度始终比B大[思路探究](1)x－t图象的斜率是什么？(2)x－t图象的横截距、纵截距意义是什么？(3)x－t图象的交点表示什么？解析t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的前面，A正确；t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在此后跑在A的前面，B正确；B开始运动的速度比A小，t1时刻后A静止，B仍然运动，C、D错误。答案AB误区警示(1)x－t图象斜率表示速度。(2)x－t图象交点表示相遇、位移不一定相等，因为出发点位置不一定相同。[针对训练2]如图5所示为甲、乙两物体运动的x－t图象，下列关于甲、乙两物体运动的说法，正确的是()和任何人呵呵呵图5A.甲、乙两个物体同时出发B.甲、乙两个物体在同一位置出发C.甲的速度比乙的速度小D.t2时刻两个物体速度相同解析由题图可知甲物体从0时刻开始运动，而乙物体从t1时刻开始运动，故A错误；由题图可知甲物体从坐标x1开始运动，而乙物体从坐标为0的位置开始运动，故B错误；x－t图象的斜率等于物体运动的速度，由题图可知乙运动的速度大于甲运动的速度，故C正确；t2时刻两物体的位置坐标相同即两物体相遇，故D错误。答案C两个重要的推论[要点归纳]1.推论1：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，也等于这段时间初、末速度和的一半，即v－＝vt2＝v0＋v2。(1)适用条件：匀变速直线运动。(2)应用：计算瞬时速度。[精典示例][例3]一滑雪运动员从85m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8m/s，末速度是5.0m/s。求：(1)滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？(2)滑雪运动员通过斜坡中间时刻的瞬时速度是多少？解析(1)法一利用速度公式和位移公式求解。由v＝v0＋at和x＝v0t＋12at2和任何人呵呵呵可得a＝0.128m/s2t＝25s。法二利用平均速度公式求解。由x＝v0＋v2tt＝25s。(2)法一速度公式法中间时刻t′＝252svt2＝v0＋at′＝3.4m/s法二平均速度公式法vt2＝v0＋v2＝3.4m/s答案(1)25s(2)3.4m/s方法总结(1)若题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题，一般用v－＝xt＝v0＋v2计算较方便。(2)若题目中无位移x，也不需求位移，一般用速度公式v＝v0＋at。(3)若题目中无末速度v，也不需要求末速度。一般用位移公式x＝v0t＋12at2。[针对训练3](2018·济南一中期末)一辆汽车4s内做匀加速直线运动，初速度为2m/s，末速度为10m/s，在这段时间内，下列说法正确的是()A.汽车的加速度为4m/s2B.汽车的加速度为3m/s2C.汽车的位移为24mD.汽车的平均速度为3m/s解析汽车的加速度a＝ΔvΔt＝2m/s2，故A、B错误；平均速度v－＝v0＋v2＝6m/s，故D错误；位移x＝v－·t＝24m，故C正确。答案C和任何人呵呵呵2.推论2：匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。对于不相邻的两段位移则有xm－xn＝(m－n)aT2。应用(1)判断物体是否做匀变速直线运动如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。注意：T具有任意性。(2)求加速度利用Δx＝aT2，可求得a＝ΔxT2。[精典示例][例4]从斜面上某一位置每隔0.1s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图6所示的照片，测得xAB＝15cm，xBC＝20cm。试求：图6(1)小球的加速度是多少？(2)拍摄时小球B的速度是多少？(3)拍摄时xCD是多少？思路探究(1)小球做匀加速直线运动。AB、BC、CD是相邻相同时间内的位移，可用逐差相等的推论。(2)B点可看作某过程的中间时刻，可用平均速度的推论。解析小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。和任何人呵呵呵(1)由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为a＝ΔxT2＝xBC－xABT2＝20×10－2－15×10－20.12m/s2＝5m/s2(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即vB＝v－AC＝xAC2T＝20×10－2＋15×10－22×0.1m/s＝1.75m/s。(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以xCD－xBC＝xBC－xAB所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2m－15×10－2m＝25×10－2m＝0.25m。答案(1)5m/s2(2)1.75m/s(3)0.25m方法总结(1)逐差相等适用于匀变速直线运动中相邻相等时间内的两个过程。(2)v－＝xt适用于任何运动，v－＝vt2＝v0＋v2只适用于匀变速直线运动。[针对训练4]一个向正东方向做匀变速直线运动的物体，在第3s内发生的位移为8m，在第5s内发生的位移为5m，则关于物体运动加速度的描述正确的是()A.大小为3m/s2，方向为正东方向B.大小为3m/s2，方向为正西方向C.大小为1.5m/s2，方向为正东方向D.大小为1.5m/s2，方向为正西方向解析设第3s内、第5s内位移分别为x3、x5，则x5－x3＝x5－x4＋x4－x3＝2aT2，得a＝－1.5m/s2，负号表示方向沿正西。故选项D正确。答案D1.(多选)如图所示，甲、乙、丙、丁是以时间为横轴的匀变速直线运动的图象，和任何人呵呵呵下列说法正确的是()A.甲是v－t图象B.乙是x－t图象C