专题23抛物线(解析版)

1专题23抛物线(解析版)易错点1：主观认为抛物线的顶点就是原点;易错点2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论;易错点3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标;易错点4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论;易错点5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题必记结论直线AB过抛物线22(0)ypxp的焦点,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如图：(1)y1y2＝－p2,x1x2＝p24.(2)|AB|＝x1＋x2＋p,x1＋x2≥122xx＝p,即当x1＝x2时,弦长最短为2p.(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(4)弦长AB＝2psin2α(α为AB的倾斜角)．(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)以AF为直径的圆与y轴相切．(7)焦点F对A,B在准线上射影的张角为90°.题组一：定义和标准方程1．已知0p,抛物线C：28ypx的焦点为F,C与抛物线2xpy在第一象限的交点为M,且4MF,则p________．【解析】抛物线C：28ypx的准线方程是2xp=-,焦点为F(2p,0),2由228,2ypxxpxpyì=ï=í=ïî解得,所以224MFpp,解得1p2.设抛物线)0(22ppxy的焦点为F,点M在C上,｜MF｜＝5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.xy42或xy82B.xy22或xy82C.xy42或xy162D.xy22或xy162【解析】设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|＝x0＋2p＝5,则x0＝5－2p.又点F的坐标为,02p,所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)2px＋(y－y0)y＝0.将x＝0,y＝2代入得px0＋8－4y0＝0,即202y－4y0＋8＝0,所以y0＝4.由20y＝2px0,得16252pp,解之得p＝2,或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.小结：P为抛物线22(0)ypxp的任意一点,F为焦点,以PF为直径的圆与y轴相切．3.(2012)设抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为F,准线为l,AC,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于,BD两点；若090BFD,ABD的面积为24；则p的值为________.【解析】由对称性知：BFD是等腰直角,斜边2BDp点A到准线l的距离2dFAFBp31424222ABDSBDdp4.(20192)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,则p=()A．2B．3C．4D．8【解析】由题意可得：,解得．故选D．5.已知A,B是抛物线022ppxy上的两点,直线AB垂直于x轴,F为抛物线的焦点,射线BF交抛物线的准线于点C,且AFCAFAB,554的面积为252,则p的值为____.【解析】法1：设A点的坐标为(m,n),且点A在第一象限内,则B(m,-n),所以22npm=①,由,0,22ppFx骣琪=-琪桫准线方程为所以22,222pnpABnAFmp==+=+因为45,5ABAF=所以45252pnm骣琪=+琪桫②因为AFCΔ的面积为252,又,ACBABFAFCSSSDDD-=所以112nm+2nm2522222pp骣骣琪琪??=+琪琪桫桫所以252np=+③,联立①②③解得p=2.法2：如图,过A作AH垂直准线于H,作CG垂直AB于G,根据抛物线的定义,|AH|=|A|F,CE//AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|,22(0)ypxp2213xypp232ppp8p4由11,,22ACBABFAFCACBABFSSSSABCGSABDFADEFDDDDD-==???`()AFCSADCGADDFADCGDFADEFD=??-=?()5,51,2512251DEAFDFEFDFEFADDFEF===-+===-又则251,=25+2EF=22AFCAFCSEFSDD+=可得又，所以因为|EF|正好是焦点到准线的距离,即p=2.题组二：抛物线的简单几何性质及其应用6．(2011新课标)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,||12AB,P为C的准线上一点,则ABP的面积为A．18B．24C．36D．48【解析】设抛物线的方程为22ypx,易知||212ABp,即6p,∵点P在准线上,∴P到AB的距离为6p,所以ABP面积为36,故选C．7.已知抛物线C：28yx的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若4FPFQ,则||QF=_______.【解析】过点Q作QQl交l于点Q,因为4PFFQ,所以||:||3:4PQPF,又焦点F到准线l的距离为4,所以||||3QFQQ．故选C．8.(20181)设抛物线C：24yx的焦点为F,过点(2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=()A．5B．6C．7D．85【解析】通解过点(2,0)且斜率为23的直线的方程为2(2)3yx,由22(2)34yxyx,得2540xx,解得1x或4x,所以12xy,或44xy,不妨设(1,2)M,(4,4)N,易知(1,0)F,所以(0,2)FM,(3,4)FN,所以8FMFN．故选D．9.(20161)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为_______.A．2B．4C．6D．8【解析】由题意,不妨设抛物线方程为22(0)ypxp,由||42AB,||25DE,可取4(,22)Ap,(,5)2pD,设O为坐标原点,由||||OAOD,得2216854pp,得4p,所以选B．10.(2017新课标Ⅱ)已知F是抛物线C：28yx的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点,则FN．【解析】如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与x轴交于点F',作MBl与点B,NAl与点A,由抛物线的解析式可得准线方程为2x,则2,4ANFF',在直角梯形ANFF'中,中位线'32ANFFBM,由抛物线的定义有：3MFMB,结合题意,有3MNMF,故336FNFMNM．OF'BAFNMyx6题组三：焦点弦问题11.(20182)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8．则l的方程是______________.【解析】由题意得(1,0)F,l的方程为(1)(0)ykxk．设1221(,),(,)AyxyxB,由2(1),4ykxyx得2222(24)0kxkxk．216160k,故122224kxkx．所以122244||||||(1)(1)xkABAFBFkx．由题设知22448kk,解得1k(舍去),1k．因此l的方程为1yx．12.(20191)已知抛物线2:3Cyx的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P,||||4AFBF,则l的方程是_______________.【解析】由题意得3(,0)4F,l的方程为32yxm．设1221(,),(,)AyxyxB,由焦半径公式知121235||||4,=22AFBFxxxx所以由23x+m,23yyx得229(1212)40xmxm．22112121440,2mmm所以,故122224kxkx．7所以12121257,928xmx解得m=-．所以l的方程是3728yx,即12870xy.13．(20183)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点．若∠AMB=900,则k=________．【解析】法1:由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为(1)ykx(0)k,由2(1)4ykxyx,消去y得22(1)4kxx,即2222(24)0kxkxk,设11(,)Axy,22(,)Bxy,则212224kxxk,121xx．由2(1)4ykxyx,消去x得214(1)yyk,即2440yyk,则124yyk,124yy,由90AMB,得1122(1,1)(1,1)MAMBxyxy1212121241()10xxxxyyyy,将212224kxxk,121xx与124yyk,124yy代入,得2k．法2:设抛物线的焦点为F,11(,)Axy,22(,)Bxy,则21122244yxyx,所以2212124()yyxx,则1212124yykxxyy,取AB的中点00(,)Mxy,分别过点A,B做准线1x的垂线,垂足分别为A,B,又90MB,点M在准线1x上,所以111||||(||||)(||||)222MMABAFBFAABB．8又M为AB的中点,所以MM平行于x轴,且01y,所以122yy,所以2k．14.(20142)设F为抛物线C:23yx的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则ABO的面积为______.【解析】法1：易知抛物线中32p,焦点3(,0)4F,直线AB的斜率33k,故直线AB的方程为33()34yx,代人抛物线方程23yx,整理得22190216xx．设1122(,),(,)AxyBxy,则12212xx,由物线的定义可得弦长12||12ABxxp,结合图象可得O到直线AB的距离3sin3028pd,所以OAB的面积19||24SABd．法2：秒杀公式的应用2203922sin2sin304OABpS小结：设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F且倾斜角为θ的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,21sin22sinOABpSOFAB.题组四：抛物线中的最值问题15.(20171)已知F为抛物线2:4Cyx的焦点,过F作两条互相垂直的直线12,ll,直线1l与C交于A,B两点,直线2l与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10【解析】由已知1l垂直于x轴是不符合题意,所以1l的斜率存在设为1k,2l的斜率为2k,由题意9有121kk,设11(,)Axy,22(,)Bxy,33(,)Dxy,44(,)Exy此时直线1l方程为1(1)ykx,取方程214(1)yxykx,得2222111240kxkxxk,∴21122124kxxk212124kk同理得22342224kxxk由抛物线定义可知1234||||2ABDExxxxp221222222212121224244416482816kkkkkkkk≥当且仅当121kk(或1)时,取得等号．16.已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),P为抛物线上一点,当|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为_______【解析】过A作准线的垂线,交抛物线于P,由抛物线定义可知,P点为使|PF|+|PA|为最小值的点,此时|PF|+|PA|=617.已知点()22,0Q及抛物线24xy上的动点(),Pxy,则yPQ+的最小值是___.【解析】动点P到