不等式知识结构及知识点

不等式知识结构及知识点总结一．知识结构二．知识点1、不等式的基本性质①（对称性）abba②（传递性）,abbcac③（可加性）abacbc（同向可加性）dbcadcba,（异向可减性）dbcadcba,④（可积性）bcaccba0,bcaccba0,⑤（同向正数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数可除性）0,0ababcdcd⑥（平方法则）0(,1)nnababnNn且⑦（开方法则）0(,1)nnababnNn且⑧（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式①222abababR，,（当且仅当ab时取号）.变形公式：22.2abab②（基本不等式）2abababR，,（当且仅当ab时取到等号）.变形公式：2abab2.2abab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）33abcabc()abcR、、（当且仅当abc时取到等号）.④222abcabbccaabR，（当且仅当abc时取到等号）.⑤3333(0,0,0)abcabcabc（当且仅当abc时取到等号）.⑥0,2baabab若则（当仅当a=b时取等号）0,2baabab若则（当仅当a=b时取等号）⑦banbnamambab1其中(000)abmn，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;axaxaxaxa当时，或22.xaxaaxa⑨绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式①平均不等式：2211222abababababR，,（当且仅当ab时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：222;22ababab222().2abab②幂平均不等式：222212121...(...).nnaaaaaan③二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,,,).xyxyR④二维形式的柯西不等式22222()()()(,,,).abcdacbdabcdR当且仅当adbc时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().aaabbbababab⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)nnaaabbb21122(...).nnababab⑦向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...nnaaabbb为两组实数.12,,...,nccc是12,,...,nbbb的任一排列，则12111122......nnnnnabababacacac1122....nnababab（反序和乱序和顺序和）当且仅当12...naaa或12...nbbb时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()fx,对于定义域中任意两点1212,(),xxxx有12121212()()()()()().2222xxfxfxxxfxfxff或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242aa②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kkk211,(1)kkk2212(),21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()fxfxgxgxfxgxfxgxgx（“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0()(0)()fxfxaafxa⑵2()0()(0)()fxfxaafxa⑶2()0()0()()()0()0()[()]fxfxfxgxgxgxfxgx或⑷2()0()()()0()[()]fxfxgxgxfxgx⑸()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a时,()()()()fxgxaafxgx⑵当01a时,()()()()fxgxaafxgx规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a时,()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx⑵当01a时,()0log()log()()0.()()aafxfxgxgxfxgx规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)aaaaa⑵平方法：22()()()().fxgxfxgx⑶同解变形法，其同解定理有：①(0);xaaxaa②(0);xaxaxaa或③()()()()()(()0)fxgxgxfxgxgx④()()()()()()(()0)fxgxfxgxfxgxgx或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20axbxc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a时0,0;bc②当0a时00.a⑵不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a时0,0;bc②当0a时00.a⑶()fxa恒成立max();fxa()fxa恒成立max();fxa⑷()fxa恒成立min();fxa()fxa恒成立min().fxa15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0AxByC的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)xy（如原点），由00AxByC的正负即可判断出0AxByC(或0)表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0AxByC(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，0AxByC(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(,AB为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数zAxBy（xy、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0lAxBy，平移直线0l（据可行域，将直线0l平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)xy；第四步，将最优解(,)xy代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.第二步中最优解的确定方法：利用z的几何意义：AzyxBB,zB为直线的纵截距.①若0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；②若0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;zAxBy②“斜率”型：yzx或;ybzxa③“距离”型：22zxy或22;zxy22()()zxayb或22()().zxayb在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.16.利用均值不等式：abababRabababab222222，；；求最值时，你是否注意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定abRabab()()值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：ababababababR22222，当且仅当时等号成立。ababcabbccaabR222，当且仅当时取等号。abcabmn000，，，则babmamanbnab1如：若，的最大值为xxx0234（设yxx2342212243当且仅当，又，∴时，）340233243xxxxymax又如：，则的最小值为xyxy2124（∵，∴最小值为）22222222221xyxy17.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。如：证明…1121312222n（…………112131111212311222nnn11121213111212……）nnn18的一般步骤是什么？解分式不等式0)()(.aaxgxf（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）19.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始如：xxx11202320.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分或讨论aa10121.对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式||xx311（解集为）xx|1222、证明较简单的不等问题会用不等式||||||||||bababa如：设，实数满足fxxxaxa()||2131求证：fxfaa()()(||)21证明：|()()||()()|fxfaxxaa221313|()()|(||)||||||||||xaxaxaxaxaxaxa11111又，∴|||||||