差分方程练习题

差分方程练习题1.求下列函数的一阶与二阶差分：(1)yt=3t2-t3；(2)yt=e2t；(3)yt=lnt；(4)yt=t2·3t.2.判断下列微分方程的阶数（1）11.230nnyy（2）215nnyy（3）114xxxyyy（4）137nnyy（5）12xxxyxyy（6）11xxxyyy（7）2132xxxyyxy3．对下面的差分方程，求出它们的1X、2X、3X、4X的值：(a)1,301XXXnn(b)2,35.001XXXnn(c)1,02/121XXXXnnn4.求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解：(1)yt+1-2yt=0；(2)yt+1+3yt=0；(3)3yt+1-2yt=0.5.求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1)yt+1-3yt=0，且y0=3；(2)yt+1+yt=0，且y0=-2.6.求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解：(1)yt+1+2yt=3；(2)yt+1-yt=-3；(3)yt+1-2yt=3t2；(4)11522tttyy.7.求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1)yt+1-yt=10，且y0=3；(2)yt+1-2yt=2t，且y0=2.8.求下列二阶常系数线性齐次差分方程的通解或在给定初始条件下的特解：（1）2160tttyyy（2）21690tttyyy（3）2113120tttyyy；011,6yy9.求下列二阶常系数线性非齐次差分方程的通解：（1）yx+23yx+1+2yx=2x（2）2166tttyyy（3）21698tttyyy答案1.解：(1)2323231133+32tytttttt［］,22()3+326ttyyttt；(2)2(1)222eee(1)ttttye,22222222()e(1)(1)(e)e(1)tttttyyeee，(3)ln(1)lntytt,2()ln(1)lnln(2)2ln(1)lnttyyttttt(4)21221333263ttttytttt,22122()326332(1)693263tttttyytttttt2342430ttt2.（1）1（2）1（3）2（4）1（5）2（6）2（7）33.4.解：(1)特征方程为：λ-2=0,特征根为λ=2，于是原方程的通解为yt=C2t.(2)特征方程为：λ+3=0,特征根为λ=-3，于是原方程的通解为yt=C(-3)t.(3)特征方程为：3λ-2=0,特征根为23，于是原方程的通解为2.3ttyC5.解(1)特征方程为30,特征根为3，于是原方程的通解为3.ttyC将初始条件y0=3代入，得出C=3，故所求解为13.tty(2)特征方程为10,特征根为1，于是原方程的通解为(1).ttyC将初始条件y0=-2代入，得出C=-2，故所求解为2(1).tty6.解(1)由于a=-2，k=3，令y*t=A(待定系数)，代入方程得A+2A=3，从而A=1，即y*t=1，故原方程的通解为yt=C(-2)t+1.(2)由于a=1，k=-3，令y*t=At(待定系数)，代入方程得A=-3，即y*t=-3t，故原方程的通解为yt=-3t+C.(3)设y*t=A0+A1t+A2t2为原方程的解，将y*t代入原方程并整理，比较同次幂系数,可得A0=-9，A1=-6，A2=-3.从而*2963tytt,故原方程的通解为29632.ttyttC(4)由15122akb，，，令原方程有一个特解为*5·()2ttyA，解得35A.于是原方程的通解为351·().522tttyC7.解(1)原方程的通解为10.tyCt又有初始条件y0=3，可知3C，故特解为310.tyt(2)原方程的通解为122tttyCt又有初始条件y0=2，可知2C,故特解为1122tttyt.8.（1）1232.tttyCC（2）12()3.ttyCCt（3）78121.1111ttty9.（1）11222xxxyCCx（2）12321.tttyCC（3）121()3.2ttyCCt