第十章-(图与网络分析)

1第十章图与网络分析精典习题10.1证明如下序列不可能是某个简单图的次的序列：（1）7,6,5,4,3,2（2）6,6,5,4,3,2,1（3）6,5,5,4,3,2,110.2已知9个人921,,,vvv中，1v和两个人握过手，32,vv各和四个人握过手，7654,,,vvvv各和五个人握过手，98,vv各和六个人握过手，证明这九个人中一定可以找出三个人互相握过手。10.3有八种化学药品A、B、C、D、P、R、S、T要放进储藏室保管。出于安全原因，下列各组药品不能储存在同一室内：A-R、A-C、A-T、R-P、P-S、S-T、T-B、T-D、B-D、D-C、R-S、R-B、P-D、S-C、S-D问储存这八种药品至少需要多少间储藏室。10.4已知有十六个城市及他们之间的道路联系（见图10-1）。某旅行者从城市A出发，沿途依次经过J、N、H、K、G、B、M、I、E、P、F、C、L、D、O、C、G、N、H、K、O、D、L、P、E、I、F、B、J、A，最后到达城市M。由于疏忽，该旅行者忘了在图上标明各城市的位置，请应用图的基本概念及理论，在图10—1中标明各城市A~P的位置。10.5十名研究生参加六门课程的考试。由于选修的课程不同，考试门数也不一样。表10—1给出了每个研究生应参加考试的课程（打Δ号的）。规定考试应在三天内结束，每天上下午各安排一门。研究生们提出希望每人每天最多考一门，又课程A必须安排在每一天上午考，课程F安排在最后一门，课程B只能安排在中午考，试列出一张满足各方面要求的考试日程表。图10-12e1v1v2v3v4v5v6v7v8v9v10e2e3e7e4e5e6e8e9e10e11e12e13e14e15图10-2表10-1考试课程研究生ABCDEF1ΔΔΔ2ΔΔ3ΔΔ4ΔΔΔ5ΔΔΔ6ΔΔ7ΔΔΔ8ΔΔ9ΔΔΔ10ΔΔΔ10.6用破圈法和避圈法找出图10-2的一个支撑树。10.7用破圈法和避圈法求图10—3中各图的最小树。(a)728232443613654174312223425(b)310.8已知世界6大城市：（Pe）、（N）、（Pa）、（L）、（T）、（M）。试在由表10—1所示交通网络的数据中确定最小树。表10-2城市PeTPaMNLPe×1351776850T13×60706759Pa5160×57362M777057×2055N68673620×34L505925534×10.9有九个城市921,,,vvv,其公路网如图10—4所示。弧旁数字是该段公路的长度，有一批货物从1v运到9v，问走那条路最短？223221533522422536474536321(c)(d)图10-3343323122.5542V1V2V3V4V5V6V7V8V93图10-4410.10用标号法求图10—5中V1到各点的最短路。10.11用Dijksrea方法求图10—6中V1到各点的最短距离。10.12求图10-7中从V1到各点的最短路。10.13在图10—8中(1)用Dijkstra方法求从V1到各点的最短路；(2)指出对V1来说那些顶点是不可到达的。V12847615129143216317924V2V3V4V5V6V7V8V9V10V11图10-62261304202047105101515751030420V1(a)(b)图10-5V1985218374310712445331222V1V2V4V323V5V6图10-7510.14已知八口海上油井，相互间距离如表10-2所示。已知1号井离海岸最近，位5浬。问从海岸经1号井铺设油管将各油井连接起来，应如何铺设使输油管线长度为最短（为便于计算和检修，油管只准在各井位处分叉）。表10-2各油井间距离单位：km从到234567811.32.10.90.71.82.01.520.91.81.22.62.91.132.61.72.51.91.040.71.61.50.950.91.10.860.61.070.510.15设某公司在六个城市c1,…,c6有分公司，从ci到cj的直达航线票价记在下面矩阵的（i，j）位置上（∞表明无直达航线，需经其他城市中转）。请帮助该公司设计一张任意两城市的票价最便宜的路线表。05525251055010202525100102040201001525201505010254050010.16在如图10-9所示的网格中，每弧旁的数字是（cij，fij）。(1)确定所有的数集；V4413341624367V1V2V7V5V6V8V3图10-86(2)求最小截集的容量；(3)证明指出的流是最大流。10.17求如图10-10所示的网络的最大流（每弧旁的数字是（cij，fij）。10.18用Ford-Fulkerson的标号算法求图10-11中所示各容量网络中从Vs到Vt的最大流，并标出个网络的最小割集。图中各弧旁数字为容量，括弧中为流量。svVstvVt（1,1）（4,3）（7,6）（4,3）（3,2）（3,2）（3,2）（4,3）（4,2）（5,3）（8,3）（2,2）图10-105(5)4(3)3(2)2(2)1(1)5(4)5(5)5(2)1(1)2(2)3(3)4(4)5(3)svtv1(1)tvsv2(1)2(2)1(2)2(1)2(1)2(2)2(0)1(0)2(2)2(0)1(1)(a)(b)svtv(2,2)(4,3)(3,3)(1,0)(2,2)(5,2)(3,1)图10-9710.19某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人。有5人应聘。已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊懂法文。问最多有几人能得到招聘，有分别被聘任从事那一文种的翻译。10.20求图10-12中从s→t的最小费用最大流，各弧旁数字为（，）。10.21图10-13中，A、B为出发点，分别有50和40单位物资往外发运，D、E为收点，分别需要物资30和60单位，C为中转点，各弧旁数字为（，）。求满足上述收发量要求最小费用流。ABCDE(20,90)(80,10)(10,30)(30,20)(40,30)(50,40)(10,20)图10-13（4,1）（7,6）（5,2）（2,3）（3,2）（8,4）（6,1）st（a）（b）（7,7）（5,3）（5,1）（7,2）（10,9）（5,3）（8,4）（10,10）（7,2）st图10-123(2)5(5)3(3)3(3)2(0)6(4)4(4)2(2)5(4)2(0)8(6)6(6)tvsv(c)tvsv12(10)6(5)3(3)5(4)4(3)3(3)5(4)4(4)2(2)5(4)2(2)9(9)9(6)(d)图10-11810.22设G=（V,E）是一个简单图，令δ（G）=(称δ（G）为G的最小次)。证明：（1）若δ（G）2，则G必有图；（2）若δ（G）2，则G必有包含至少δ（G）+1条边的图。10.23设G是一个连通图，不含奇点。证明：G中不含割边。10.24给一个联通赋权图G，类似于求G的最小支撑树的Kruskal方法，给出一个求G的最大支撑树的方法。10.25下述论断正确与否：可行流f的流量为零，即v(f)=0，当且仅当f是零流。9习题答案及详解10.1证明（1）由图的性质定理知，任一个图中，奇点的个数为偶数。7，6，5，4，3，2中存在3个奇数，所以不可能是某个图的次的序列，更不是某个简单图的次的序列。【或者】假设7，6，5，4，3，2为某个简单图的次的序列，则图中有6个点，作为简单图点的最大次数为n-1，即最大次数为5，显然与存在点的次数为7矛盾。所以，7，6，5，4，3，2又是简单图的次的序列。（2）由定理知，任一个图G=(V，E)中，所有点的次数之和是边数的两倍，即图中点次的和为偶数。序列6，6，5，4，3，2，1的和为27，所以它不可能是一个图的次的序列，更不可能是某个简单图的次的序列。【或者】假设6，6，5，4，3，2，1为某个简单图的次的序列，则图中存在7个点，不妨设为1V，2V，3V，4V，5V，6V，7V，其中1V，2V次为6，表明1V，2V与除自身外的剩余6个点均相连。即3V，4V，5V，6V，7V的次不少于2，与7V的次为1矛盾。所以，6，6，5，4，3，2，1不是某个简单图的次的序列。（3）假设6，5，4，3，2，1为某个简单图的次的序列，则图中存在7个点，不妨设为1V，2V，3V，4V，5V，6V，7V，，因为1()dV=6,7()dV=1,所以1V与其他6个点相连，而7V仅与1V相连，又因为23()()5dVdV，则2V，3V与除7V和自身之外的所有点相连，则6V必须与2V，3V相连，所以6V与1V，2V，3V相连，与6()2dV矛盾，所以6，6，5，4，3，2，1不是某个简单图的次的序列。10.2解：设9个人1V，2V，…9V为9个点，两人握手设为两点之间存在相连边，握手问题转化为一个简单图，其中，1V，2V，…9V次的序列为2，4，4，5，5，5，5，6，6。这9个人中一定可以找到3个互相握过手，转化为在图中一定存在3个点彼此相连。因为，4567()()()()5dVdVdVdV，4V，5V，6V，7V之间一定存在两点相连。假如，4V，5V，6V，7V互相均不相连，因为次均为5，所以4V，5V，6V，7V均与剩余的4个点1V，2V，3V，8V，9V相连，这与1()dV=2矛盾。10不妨设4V，5V，6V，7V，中存在4V，5V之间相连。必可以找到第三点均与4V，5V相连。假设不存在第3点均与4V，5V相连，4V，5V分别与定义不同的4个点相连，即存在8个不同的点分别与4V或5V相连，加上4V，5V共计10个点，这与图中9个点矛盾。所以在图中，必存在3个点彼此相连。10.3解：将8种化学药品A，B，C，D，P，R，S，T设定为8个点，两种药品不能贮存同一室内状态，设定为两点之间存在一边相连，画出药品关系图如下：（图10-3（a））在图（a）中，两点之间相连的药品均不能存贮在一起。对于由点A，B，C，D，P，R，S，T的完全图，求图（a）的补图，得图（b）,在（b）图中，彼此相连的药品均可以为存贮庄点，因为()()2dSdD，从S，D开始搜索，（S，A，B）彼此相连，（D，R）相连，（T，C，P）彼此相连。所以至少需要3间贮存室，存效组合为（S，A，B），（T，C，P），（D，R）。10.4解：依据旅行者的路线统计城市间的相互关系。点（城市）相邻城市（相邻点）次点相邻点次AJ，M2IM，E，F3BG，M，F，J4JA，N，B3CF，I，O，G4KH，G，O3DL，O2LC，D，P3EL，P2MB，I，A3FP，C，I，B4NJ，H，G3（a）BATCRPSD（B）BATCRPSD图10-311GK，M，C，N4OD，C，K3HM，K2PE，F，L3由点的次可知，A，D，E，H为2，则为4个顶点；B，C，F，G的次为4，则为4个顶点；某系为边点，城市布局图为图10-4。10.5解：将课程A，B，C，D，E，F设定为6个点，同时学生选某课程认为存在相邻边。依据学生1-10的选课划分课程关系图10-5（a），要求学生一天最多考1门，即图（a）中相连的课程不能排在同一天。对于点ABCDEF的关系图，求图（a）的补图（b）。那么，图（b）中相邻的课程可以安排在同一天，可保证学生一天最多考一门，所以（A，E），（F，D），（C，B）分别各为一天，安排如下：天上午下午123ACDEBFAMIEJBFPNGCLCKOD图10-4CABDEF图10-5（a）DAEBF图10-5（b）12v1v2v3v4v5v6v7v8v9v10e2e3e7e5e6e8e9e10e11e12e14e15(b)e1v1v2v3v4v5v6v7v8v9v10e2e3e7e4e5e6e8e9e10e11e12e13e14e15(a)v1v2v3v4v5v6v7v8v9v10e2e3e7e8e10e1