九年级数学上《圆周角》课件新人教版

探索圆周角和圆心角的关系理解圆周角和圆心角的概念及性质体会分类归纳等数学方法一、旧知回放:.OBC答：相等.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?B3、(05年茂名)下列命题是真命题的是()1)垂直弦的直径平分这条弦2)相等的圆心角所对的弧相等3)圆既是轴对称图形,还是中心对称图形A1)2)B1)3)C2)3)D1)2)3)课前热身11、如图，⊙O中，∠AOB=100º，则AB弧的度数为______，AnB弧的度数为______。AOBn100º260º√××××2、判断题：(1)相等的圆心角所对的弧相等。(2)等弦对等弧。(3)等弧对等弦。(4)长度相等的两条弧是等弧。(5)平分弦的直径垂直于弦。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABCDOABOA'B'O'在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等所对的弦的弦心距相等圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABCDOABOA'B'O'在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等1.圆心角的定义?.OBC答:顶点在圆心的角叫圆心角..OBCA特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.辩一辩图中的∠CDE是圆周角吗?CDECDECDECDE圆周角：__________，并且的角______________。圆心角:___________的角.顶点在圆上两边都和圆相交顶点在圆心√辨别是非如图所示的角，哪些是圆周角√练习：1、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是是不是不是图１图２图３图４图５2、指出图中的圆周角。AOBC∠ACO∠ACB∠BCO∠OAB∠BAC∠OAC∠ABO∠CBO∠ABCABCO有没有圆周角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？它们都对着同一条弧⌒⌒ABCOABCOABCOABCODABCOD下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？(1)当圆心在圆周角的一边上时,探究一：证明:(圆心在圆周角上)结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.COBABACCOCOABOCBAC21CBACBOC2.当圆心在圆周角外部时结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:∴∠ABC=∠AOC.21∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,2121●ODABC3.当圆心在圆周角内部时提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:∴∠ABC=∠AOC.21∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,2121●OABCD结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.结论:圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。ABCO如图，已知在⊙O中，∠BOC=150°，求∠A2、如图，∠A是圆O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数。练习：2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。OABCBAO.70°x1.求圆中角X的度数130°AO.X120°CCDB3、如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________25º做做看，收获知多少？一、判断1、顶点在圆上的角叫圆周角。2、圆周角的度数等于所对弧上的圆心角度数的一半。×√.O36º或144°2、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB=_____、∠ADB=______。DAOCB1、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是。二、计算130º50º做一做，成功在向你招手！OACB已知：∠AOB=100°，求∠ACB的度数3.已知⊙O中弦AB的等于半径,求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数.OAB圆心角为60°圆周角为30°或150°.OCAB1、已知∠AOB＝75°，求：∠ACB=。OCAB2、已知∠AOB＝120°，求：∠ACB=ODBAC3、已知∠ACD＝30°，求：∠AOB=OBAC4、已知∠AOB＝110°，求：∠ACB=2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。OABCOABCD3、如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD=。130°例1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.∠AOB=2∠BOCAOBC∠ACB=2∠BAC证明：规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理⌒分析:AB所对圆周角是∠ACB,圆心角是∠AOB.则∠ACB=∠AOB.BC所对圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC,则∠BAC=∠BOC⌒2121∠ACB=∠AOB21∠BAC=∠BOC21圆周角:∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.圆周角当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.BACBACBACBACBACBACBACDED●OE如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？甲OBA丙D乙C丁E探究试找出下图中所有相等的圆周角。56781243同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。OBACDOCBAFED思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。推论14、如图，AB是⊙O的直径=，∠A=30°，则∠BOD=。5、如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？BCBDOABDCOABC60°1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？推论：半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径探究二：OABC2.90°的圆周角所对的弦是否是直径？画板3推论2半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。推论3OBADEC什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？例题:如图，AB为⊙O的直径，∠A=70°，求∠ABC的度数。ABCO解：∵AB为⊙O的直径∴∠C=90°，又∠A=70°∴∠B=20°AB是⊙O的直径,∠BCD=300,则∠ABD=__ODCAB300例如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．86102222ACABBC又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD..ACDBCD例题OABCD练习1、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x+100）°和（5x—30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。2、如图，∠A是圆O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数。1.如图,内接于O,,,BD是O的直径,BD交AC于点E,连接DC,则（）.A.B.C.D.050A060ABCAEB07001100900120EOBACD5.如图AB是⊙O的直径,C,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.ABOCD40°提示:连接AD50°2.如图所示,O为的外接圆,CE是O的直径,于D,求证：.ABCABCDBCEACDDOABCE4.如图,内接于O,,AB=AC,BD为O的直径,AD=6,则BC=.0120BACOBDAC练习：2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。OABCBAO.70°x1.求圆中角X的度数AO.X120°AO.X120°CCDB3.半圆（或直径）所对的圆周角是_________，90°的圆周角所对的弦是_________。3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证：△ABC为直角三角形.证明：CO=AB,12以AB为直径作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=×180°=90°.12已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，12且CO=AB∴△ABC为直角三角形.课本练习3.半径为1的圆中有一条弦,如果它的长为,那么这条弦所对的圆周角的度数等于________.35.如图所示,是O的内接三角形,点C是优弧AB上的一点（点C不与A、B重合）,设猜想之间的关系,并给予证明..,COAB与OABC如图AB是⊙O的直径,C,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.ABOCD40°练习33、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于多少度。4、如图，BC为圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是BF的中点AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于点E。说明：AE=BE6.如图所示,BC为O的直径,G是半圆上任意一点,点A为的中点,求证：BE=AE=EF..BCADBGFEDOABCG5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB练习2.如图所示,O为的外接圆,CE是O的直径,于D,求证：.ABCABCDBCEACDDOABCE5、如图，在⊙O中，BC=2DE，∠BOC=84°，求∠A的度数。⌒⌒4、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35º，求∠BOC的度数。解∵AB=AC∴∠ABD=∠ADB=35º∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=70º∴∠BOC=2∠BAC=140º解:连接CD∵∠BOC=84º∴∠BDC=∠BOC=42º∵BC=2DE∴DE为42º的弧∴∠DCE=42º×=21º∴∠A=∠BDC-∠DCE=42º-21º=21º⌒⌒⌒21211、如图，△ABC叫⊙O的____三角形，⊙O叫△ABC的____圆.2、如图1，若弧BC的度数为1000，则∠BOC=____，∠A=___.复习回顾ABCO内接外接100°50°OCABD如图，四边形ABCD为圆内接四边形；⊙O为四边形ABCD外接圆.问题16、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且∠BCD=100°，求∠BOD（所对的圆心角）和∠BAD的大小。BCDOBDCA如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿＿＿ABOC若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。OBCDEFAOACDEB问题2返回CODBA如图：圆内接四边形ABCD中，∵∠A的度数等于弧BCD的一半，∠BCD的度数等于弧BAD的一半，又∵弧BCD+弧BAD度数为360°，∴∠A＋∠C＝180°.同理∠B＋∠D＝180°.圆内接四边形的对角互补。问题3如果延长BC到E，那么∠DCE＋∠BCD＝180°.∴∠A＝∠DCE.又∵∠A＋∠BCD＝180°，CODBAE因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角，我们把∠A叫做∠DCE的内对角。圆内接四边形的一个外角等于它的内对角