人教版高中数学必修2《点、线、面之间的位置关系1》师用

必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》§2.1.1平面【知识要点】1．平面：是一个只给出描述而未下定义的最基本的原始概念，对平面这一概念应从以下三个方面注意理解：“平面”是平的；“平面”无厚度；“平面”无边界，可以向四面八方无限延展.2．符号语言的记法（1）关于平面的记法平面的记法用一个希腊字母表示一个平面，如平面α、平面β用平面上的三个点来表示，如平面ABC，平面BCD用平面上的四个点来表示，如平面ABCD（2）点、线、面位置关系的符号记法点和直线、平面的位置关系位置关系符号表示点P在直线a上Pa点P不在直线a上Pa点M在平面α内M点M不在平面α内M直线a与直线b交于点AabA直线和平面的位置关系位置关系公共点个数符号表示图形表示直线a在平面α内无数个a直线a与平面α相交有且只有一个公共点aA直线a与平面α平行0a∥平面和平面的位置关系位置关系公共点个数符号表示图形表示两平面平行0∥两平面相交斜交有无数个公共点在一条直线上a垂直有无数个公共点在一条直线上a3．平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,,AlBllAB,,,,ABCABC不共线确定平面,lPPPl【补充】公理2的三条推论：【推论1】经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；【推论2】经过两条相交直线，有且只有一个平面；【推论3】经过两条平行直线，有且只有一个平面.【例题精讲】【例题1】下列推理错误的是（）A．lA，A；lB，lB.B．A，A；B，ABB.C．l，AlA.D．CBA、、，CBA、、，且A、B、C不共线与重合【变式1】下列说法不正确的是（）A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形.B.同一平面的两条垂线一定共面.C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内.D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.【例题2】如图正方体1111ABCDABCD中，判下列命题是否正确，并说明理由.(1)直线1AC在平面11CCBB内；(2)设正方形ABCD与1111ABCD的中心分别为O、1O，则平面11AACC与平面11BBDD的交线为1OO；(3)由点A、O、C可以确定一个平面；(4)由A、1C、1B确定的平面是11ADCB；(5)若直线l是平面AC内的直线，直线m是平面1DC上的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上；(6)由A、1C、1B确定的平面与由A、1C、D确定的平面是同一平面.【变式1】如果a，b，l∩=A，l∩b=B那么下列关系成立的是（）A.l⊂B.l不在内C.l∩=AD.l∩a=B【变式2】平面a、的公共点多于两个，则正确的命题是（）A.、重合B.、至少有3个公共点C.、至少有一条公共直线D.、至多有一条公共直线【变式3】已知ABC△的两边AC、BC分别交平面于点E、F，又设直线AB交于点M，则点M与直线EF的位置关系为.【变式4】如下图所示，A、B、C三点确定的平面与D、E、F三点确定的平面相于直线l，且AB与l相交，EF与l也相交．作出平面ABD与平面CEF的交线．作法：（1）连结AB交l于G，连结EF交于H；（2）连结DG交于；（3）连结CH交于；（4）连结此于即为所作的交线.【变式5】在正方体1111ABCDABCD中，（1）1AA与1CC是否在同一平面内?（2）点1,,BCD是否在同一平面内?（3）画出平面1AC与平面1BCD的交线，平面1ACD与平面1BDC的交线．解：（1）在正方体1111ABCDABCD中，∵11//AACC，∴由公理2的推论可知，1AA与1CC可确定平面1AC，∴1AA与1CC在同一平面内．（2）∵点1,,BCD不共线，由公理3可知，点1,,BCD可确定平面1BCD，∴点1,,BCD在同一平面内．（3）∵ACBDO，11DCDCE，∴点O平面1AC，O平面1BCD，又1C平面1AC，1C平面1BCD，∴平面1AC平面1BCD1OC，同理平面1ACD平面1BDCOE．【点评】确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）．【例题3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线,,ABBCCA两两相交，交点分别为,,ABC，求证：直线,,ABBCCA共面．证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．因为A∈α，B∈α，所以ABα．同理BCα，ACα.所以AB，BC，CA三直线共面．【解析】先依据公理2，由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1，证三条直线在平面内．注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证．常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.【变式1】已知直线//bc，且直线a与,bc都相交，求证：直线,,abc共面.【基础达标】1．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（）A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对【C】2．E、F、G、H是三棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P，则点P（）A．一定在直线AC上B．一定在直线BD上C．只在平面BCD内D．只在平面ABD内【B】3．用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（）A．三B．四C．六D．八【C】4．下列说法中正确的是（）A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内【D】5．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中说法正确的序号依次是．①④6．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是．4【能力提高】CAABBCDDEFGHKL11117．正方体1111ABCDABCD中，E、F、G、H、K、L分别是111DCDDAD、、、111ABBBBC、、的中点．求证：这六点共面．证明：连结BD和KF，因为EL、是CDCB、的中点，所以//ELBD．又矩形11BDDB中//KFBD，所以//KFEL，所以KFEL、可确定平面，所以EFKL、、、共面，同理//EHKL，故EHKL、、、共面．又平面与平面都经过不共线的三点EKL、、，故平面与平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面．同理可证G，所以，E、F、G、H、K、L六点共面．（证明共面问题常有如下两个方法：直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．）8．（1）ABC在平面α外，ABP，BCQ，ACR，求证：P，Q，R三点共线．证明：（1）根据公理2易知ABC确定平面β，且与α有交线l，根据公理3易知，P，Q，R三点都在直线l上，即三点共线.（2）已知四边形ABCD中，AB∥CD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线．（2）AB∥CD，AB，CD确定一个平面β，易知AB，BC，DC，AD都在β内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在β上，因而，E，G，G，H必都在平面α与β的交线上，所以四点E，F，G，H共线.§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系【知识要点】1．空间两条直线的位置关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．【公理4（平行公理）】平行于同一条直线的两条直线互相平行.【定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3．异面直线,ab所成的角定义：已知两条异面直线,ab，经过空间任一点O作直线//,//aabb，把,ab所成的锐角（或直角）叫异面直线,ab所成的角（或夹角）．注意：,ab所成的角的大小与点O的选择无关，为了简便，点O通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作ab．求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.【例题精讲】【例题1】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条解：过P作a∥a，b∥b，若P∈a，则取a为a，若P∈b，则取b为b．这时a，b相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°．记a，b所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a，b都成30°的直线．过点P与a，b都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a，b所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和l，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.【例题2】如图正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点．（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明：（1）∵正方体1111ABCDABCD中，1BB//1DD，∴BD//11BD.又∵111BDC中，E、F为中点，∴EF//1112BD．∴//EFBD，即D、B、F、E四点共面.（2）∵1QAC平面，QBE平面，1PAC平面，PBE平面，∴1ACBEPQ平面平面.又1ACBER平面，∴1RAC平面，RBE平面，∴RPQ．即P、Q、R三点共线．【例题3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得,ab.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，d.假设c，则cC，在平面内过点C作//cb，因为b//c，则//cc，此与ccC矛盾．故直线c.综上述，a、b、c、d四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件．此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例题4】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°，∴AB1和CC1所成的角是45°.（2）如图，连结DA1、A1C1，∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．∵ΔA1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易．解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.【例题5】已知空间四边形ABCD中，E、