一般函数无穷积分的收敛判别法

返回后页前页§2无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质本节讨论了无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法返回后页前页()dafxx收敛的充要条件是,,0aG存在任给1221()d()d()d.uuuaaufxxfxxfxx一、无穷积分的性质12,,uuG当时证()()d,[,),()duaaFufxxuafxx设则lim().uFu收敛的充要条件是存在极限由函数极限的柯西准则,此等价于(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.1返回后页前页12120,,,,()(),GauuGFuFu1221()d()d()d.uuuauafxxfxxfxx性质11212()d()d,,aafxxfxxkk若与都收敛为任意常数,则1122()()dakfxkfxx即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.,也收敛且返回后页前页性质21122()()dakfxkfxx()d()d(),abfxxfxxba与()d()d()d.baabfxxfxxfxx同时收敛或同时发散，且[,]fau若在任何有限区间上可积,则1122()d()d.aakfxxkfxx返回后页前页h(x)在任意[a,u]上可积,且()d()daafxxgxx和()d.ahxx都收敛,则收敛证因为()d()daafxxgxx和收敛,由柯西准则的必要性,120,,,GauuG例1),[),()()(axxgxhxf,f(x),g(x),若返回后页前页1221()d,()d,uuuufxxgxx222111()d()d()d,uuuuuugxxhxxgxx即再由柯西准则的充分性,()d.ahxx证得收敛21()d.uuhxx()()(),fxhxgx又因为所以返回后页前页[,),()d.uauafxxM二、非负函数无穷积分的收敛判别法lim().uFu条件是存在12()0,fxuu由于当时，2121()d()d()d0,uuuaaufxxfxxfxx定理11.2(非负函数无穷积分的判别法)设定义在上的非负函数f在任何[,)a[,],au上可积则()dafxx收敛的充要条件是:0,M使证()()d,uaFufxx()dafxx则收敛的充要设返回后页前页[,),()d.uauafxxM有定理11.3(非负函数无穷积分的比较判别法)()(),[,),fxgxxG在上的两个非负函数f,g在任何有限区[,)a增函数的收敛判别准则,lim()uFu存在的充要条从而F(u)是单调递增的([,)).ua由单调递()[,)Fua件是在上有界,0,M即使间[a,u]上可积,且存在满足,Ga设定义返回后页前页证()dagxx若收敛,0,[,),Mua则()d.uagxxM()d()d.uuaafxxgxxM因此由非负函数无穷积分的判别法,()dafxx收敛.()d,()daafxxgxx当发散时亦发散.()d,()daagxxfxx则当收敛时亦收敛;第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.返回后页前页516d1xx收敛.例2判别516d1xx的收敛性.22()d()daafxxgxx数.证明:若和收敛,则()()d.afxgxx收敛解651dxx由于收敛,因此656511.1xx显然设f(x),g(x)是定义在上的非负连续函[,)a例3返回后页前页证2222()()11d()d()d222aaafxgxxfxxgxx()()d.afxgxx收敛,因此收敛推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且()lim.()xfxcgx)i(0()d()daacfxxgxx若，则与收敛性相同;22()()()(),2fxgxfxgx而由于返回后页前页(ii)0,()d()daacgxxfxx若则由收敛可推得收敛;(iii),()d()daacgxxfxx若则由发散可推得发散.证()(i)lim0,,,()xfxcGaxGgx由故存在使有(),()2fxccgx即3()()().22ccgxfxgx返回后页前页()d,()d2aacfxxgxx若收敛则可得收敛,从而()d()d,aagxxgxx收敛.反之若收敛可得3()d()d.2aacgxxfxx收敛,从而收敛()(ii)lim0,,,()xfxGaxGgx由存在使有()(),[,),()dafxgxxGgxx即因此由收敛()d.afxx可推得收敛()1,()fxgx返回后页前页()(iii)lim,,,()xfxGaxGgx由存在使有()(),[,),()dafxgxxGgxx即因此由发散()d.afxx可推得发散1(i)()(1),()dpafxpfxxx若则收敛;推论2设f是定义在上的非负函数,在任何[,)a[,]au有限区间上可积.()1,()fxgx返回后页前页)i(1,0,()dapfxx当时收敛;)ii(1,0,()d.apfxx当时发散lim(),pxxfx若则限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有[,)a1(ii)()(1),()d.pafxpfxxx若则发散说明:推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.返回后页前页例4讨论1lndkpxxx的收敛性(k0).解(i),1时p12lnlimpkpxxxx12lnlim0.pkxxx1lnd.kpxxx因此由推论3知道收敛)ii(1ln1,limlimln.kpkpxxxpxxxx时1lnd.kpxxx因此同理知道发散返回后页前页无穷积分()dafxx满足条件()d,afxx收敛()d.afxx则绝对收敛称以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.三、一般函数无穷积分的判别法若f在任何有限区间[a,u]上可积,()d,afxx且收敛则()dafxx亦必收敛,并且()d()d.aafxxfxx定理11.4(绝对收敛的无穷积分必收敛)返回后页前页证210,,,GauuG当时21()d,uufxx因此2211()d()d.uuuufxxfxx再由柯西准则的充分性,()dafxx收敛.()dlim()d()d.uaaaufxxfxxfxx又对任意()d()d,uuaafxxfxx于是,ua()d,afxx收敛由柯西准则的必要性,对因返回后页前页1sind()xxxax因此绝对收敛.收敛的无穷积分()dafxx不一定是绝对收敛的.()d|()|d,aafxxfxx若收敛而发散则称()dafxx条件收敛.例51sind(0)()xxaxax的收敛性.判别解sin1,()xxaxxx而3211dxx收敛,由于返回后页前页一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判别法）()()duaFufxx若0()()d.afxgxx单调趋于，则收敛[,)()[,)agxax在上有界，在上当时lim()0,xgx[,),()d.0,uauafxxM设由于证,,().4GaxGgxM存在时故别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.返回后页前页,,g因为单调函数由积分第二中值定理对任意的2112,[,],uuGuu221112()()d()()d()()d,uuuufxgxxgufxxgufxx.2424MMMM22()()d()duaagufxxfxx11()()d()duaagufxxfxx2112()()d()()duugufxxgufxx21()()duufxgxx于是使得返回后页前页因此,由柯西准则，()()d.afxgxx收敛定理11.6(阿贝尔判别法)[,)()()d.aafxgxx在上单调有界，则收敛证[证法1](),[,),gxMxa设由于()d,afxx收敛210,,,GauuG则当21()d.4uufxxM()d,()afxxgx若收敛由g的单调性,用积分第二中值定理，任意的2112,,,uuGuu使得返回后页前页21duufxgxx2112()()d()()d.uugufxxgufxx21()()duufxgxx因此2112()()d()()duugufxxgufxx.244MMMM由柯西准则,()()d.afxgxx收敛[证法2]()[,),gxaA因在上单调有界故存在使lim().xgxA11()(),()[,)0.gxgxAgxa令则在上单调趋于返回后页前页()d,()()duaafxxFufxx又因收敛故在[,),a上有界由狄利克雷判别法1()()dafxgxx()()dafxgxx1()()d()d.aafxgxxAfxx收敛例611sincosdd(0)ppxxxxpxx讨论与的收敛性.解sin11,,ppxpxx当时由于1sindpxxx因此绝对收敛.收敛,所以返回后页前页01,1pu若则当时，因此单调趋于而01px由狄利克雷判别法知1sind.pxxx收敛另一方面，2sinsin1cos2,[1,),22pxxxxxxxx12cos21cosdd22xtxtxt其中满足狄利克雷判1sindcos1cos2,uxxu别法条件，是收敛的；1d2xx而发散，因此返回后页前页类似可证1cos01dpxpxx当时，条件收敛;1cos1dpxpxx当时，绝对收敛.1sin01dpxpxx当时,条件收敛;1sind.,pxxx发散总之1sin1dpxpxx当时，绝对收敛.返回后页前页复习思考题1.()[,),()d,afxafxx设在非负收敛是否一定10,,()[,)?MaxfxM存在使在上有界33.()d()d?aafxxfxx若收敛,能否推得收敛反之呢?()2.()[,)daffxaxx设在非负,收敛,试问此时lim()0?xfx是否必有返回后页前页()4.()dlim1,()axfxfxxgx若收敛且是否必有()d?agxx收敛返回后页前页作业：P275：4(3，4，5)；5(1，4)；7