积分敛散性的判断

1目录摘要................................................................................................................................2引言................................................................................................................................31无穷积分.....................................................................................................................51.1无穷积分的概念...................................................................................................51.2无穷积分敛散性的柯西准则...........................................................................51.3无穷积分敛散性的比较判别法..........................................................................61.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法……………………………..72瑕积分........................................................................................................................82.1瑕积分的定义.....................................................................................................92.2瑕积分的敛散性的比较判别法.......................................................................102.3.瑕积分敛散性的柯西判别法………………………………………………...102.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法...........................................123瑕积分与无穷积分之间的关系..............................................................................13总结...........................................................................................................................13参考文献.....................................................................................................................142判断反常积分敛散性的方法谢鹏数学与计算机科学学院摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法.关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法OnConvergenceofTheMethodofJudgingAbnormalIntegralNameofstudent,School:XiePeng，SchoolofMathematics&ComputerScienceAbstract:Theconvergenceofimproperintegralsisoneofthedifficultiesinmathematicalanalysis.Thisarticledescribesthedefinitionofconvergenceanddivergenceofimproperintegrals,examplesofsomeimportantimproperintegralsconvergenceanddivergence.What'smore,italsodescribestheconceptofabsoluteconvergenceandconditionalconvergence,etc.,whichallowsthereadertousetheimproperintegralsofCauchyconvergenceoftheimproperintegraloftheprincipleofnon-negativefunction-comparisonTests,thelawofCauchydistinguishtheimproperintegrals,andgeneralfunction,Dirichlet,AbelDiscriminantdiscriminantmethodtodistinguishthebasicimproperintegralconvergenceanddivergence,inordertograspoftheimproperintegralsconvergenceofthefirstjudgmentbetter.Keywords:Infinite；Integral；Convergencediscriminant；Methodofflawintegral1引言3定积分badx)x(f有两个明显的缺陷：其一,积分区间]b,a[必须是有限区间；其二,若]b,a[Rf,则0M,使得对于任意的]b,a[x,M)x(f（即有界是可积的必要条件）.这两个缺陷限制了定积分的应用,因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形.也就是在许多和实际中往往不能满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间上或者无界函数的积分问题.而将这两个约束条件取消.便得到定积分的两种形式推广；将函数的积分从积分区间有界扩展到无界的无穷积分和将被积函数有界扩展到无界函数的瑕积分.这两种积分就是通常所说的反常积分.反常积分是伴随者数学的发展而发展起来的近代数学.作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决许多计算上的难题，也为其他学科的发展起了促进作用，并且在其它学科及科学领域中也有十分广泛的应用.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题.由于反常积分应用的重要性，所以，对反常积分敛散性的判断就显得十分必要了.反常积分的概述：例1（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度0v至少多大？解设地球半径为R，火箭质量为m，地面上的重力加速度为g，按万有引力定律，在距地心x处火箭受到的引力为22xmgR)x(F于是火箭上升到距地心Rrr处需作的功为rRmgRdxxmgRrR11222.当r时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功mgRdxxmgRdxxmgRrRrR2222lim4再由能量守恒定律，可求得初速度0v至少应使mgRmv2021skmgRv/2.1120.例2圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有一半径为r的小孔.试问从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？解由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为xh时，水从小孔里流出的速度为)(2xhgv,其中g为重力加速度.设在很短一段时间dt内，桶里水面降低的高度为dx，则有下面关系：dtrvdxR22由此得],0[,)(222hxdxxhgrRdt所以流完一桶水所需的时间在形式上亦可写成“积分”：hfdxxhgrRt022)(2.但是，被积函数在),0[h上是无界函数，所以它的确切含义应该是uhufdxxhgrRt022)(2lim222222limrRghuhhrRghu.相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分.1无穷积分51.1无穷积分的概念设函数)x(f在),a[上有定义.aA,RA且])A,a([R)x(f,记,d)(limd)(AaAaxxfxxf称之为)x(f在),a[上的无穷积分若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积分发散.类似地，可定义f在(b,]上的无穷积分：.)(lim)(dxxfdxxfbuub对于f在(,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dxxfdxxfdxxfaa其中a为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．注1无穷积分dxxf)(的收敛性与收敛时的值,都和实数a的选取无关.注2由于无穷积分dxxf)(是由adxxf)(,adxxf)(来定义的,因此,)(xf在任何有限区间),(],[uv上,首先必须是可积的.注3dxxfa)(收敛的几何意义是：若f在],[a上为非负连续函数，则介于曲线)(xfy，直线ax以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J．由定义知道，无穷积分adxxf)(收敛与否，取决于积分上限函数)(uFuadxxf)(在u时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则．1.2柯西准则无穷积分adxxf)(收敛的充要条件是：任给0，存在G≥a，只要Guu21,，便有2121)()()(uuuauadxxfdxxfdxxf．此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质；性质1若dxxfa)(1与dxxfa)(2都收敛，1k,2k为任意常数，则6dxxfkxfka)()(2211也收敛，且dxxfkdxxfkdxxfkxfkaaa)()()()(22112211．性质2若f在任何有限区间[ua,)上可积，且有adxxf)(收敛，则adxxf)(亦必收敛，并有aadxxfdxxf)()(．证adxxf)(由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0，存在G≥a，当Guu12时，总有2121)()(uuuudxxfdxxf.利用定积分的绝对值不等式，又有21)(uudxxf21)(uudxxf.再由柯西准则(充分性)，证得adxxf)(收敛又因uadxxf)(uadxxf)(，令u取极限，立刻得到不等式.当adxxf)(收敛时，称adxxf)(为绝对收敛．性质2指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．1.3比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于uadxxf)(关于上限u是单调递增的，因此adxxf)(收敛的充要条件是uadxxf)(存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理1(比较法则)设定义在[