平面向量的数量积的性质

平面向量的数量积的性质【问题导思】已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角.1.若a·b＝0，则a与b有什么关系？【提示】a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cosθ＝0，θ＝90°，a⊥b.2.a·a等于什么？【提示】|a|·|a|cos0°＝|a|2.(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝|a|2即|a|＝a·a；(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤|a||b|.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).向量的数量积运算(2013·海淀高一检测)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，(1)求a·b；(2)求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解.【自主解答】(1)a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝5×4×(－12)＝－10.(2)∵|a|cosθ＝5×cos120°＝－52，∴a在b方向上的射影的数量为－52.1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求a·b.1.(2013·玉溪高一检测)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则a在b方向上的射影的数量是()A.－4B.4C.－2D.2【解析】cosa，b＝a·b|a||b|＝－126×3＝－23，向量a在向量b方向上的射影的数量为|a|cosa，b＝6×－23＝－4，故选A.【答案】A2.已知|a|＝6，e为单位向量，当向量a、e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，分别求出a·e及向量a在e方向上的正射影的数量.【解】当向量a和e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，|a|·|e|cos45°＝6×1×22＝32；|a|·|e|cos90°＝6×1×0＝0；|a|·|e|cos135°＝6×1×(－22)＝－32.当向量a和e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，a在e方向上的正射影的数量分别为：|a|cosθ＝6×cos45°＝32；|a|cosθ＝6×cos90°＝0；|a|cosθ＝6×cos135°＝－32.与向量模有关的问题已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|(a＋b)·(a－2b)|.【思路探究】利用a·a＝a2或|a|＝a2求解.【自主解答】由已知a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝23.(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，试求|a＋b|的值.【解】∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)，∴|a＋b|＝|3(e1＋e2)|＝3|e1＋e2|＝3e1＋e22＝3e21＋2e1·e2＋e22＝32＋2.与向量夹角有关的问题(2014·济南高一检测)若向量a，b，c两两所成的角均为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b与向量a＋c的夹角θ的余弦值.【思路探究】先利用已知条件，分别求出(a＋b)·(a＋c)，|a＋b|和|a＋c|的大小，再根据向量的夹角公式求解.【自主解答】∵(a＋b)·(a＋c)＝a2＋a·b＋a·c＋b·c＝1＋1×2×cos120°＋1×3×cos120°＋2×3×cos120°＝－92，|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋2×1×2×cos120°＋22＝3，|a＋c|＝a2＋2a·c＋c2＝7，∴cosθ＝a＋b·a＋c|a＋b||a＋c|＝－923×7＝－32114，所以向量a＋b与a＋c的夹角θ的余弦值是－32114.1.求向量a，b夹角的流程图求|a|，|b|→计算a·b→计算cosθ＝a·b|a||b|→结合0≤θ≤180°，求解θ2.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避免复杂的运算.(1)(2014·辽宁师大附中高一检测)若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－a·aa·bb，则a与c的夹角为()A.0B.π6C.π3D.π2(2)(2014·贵州省四校高一联考)若|a|＝2，|b|＝4且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是()A.2π3B.π3C.4π3D.－2π3【解析】(1)∵a·c＝a·a－a·aa·bb＝a·a－a2a·ba·b＝a2－a2＝0，又a≠0，c≠0，∴a⊥c，a与c的夹角为π2，故选D.(2)因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，即a·b＝－a2＝－4，所以cosa，b＝a·b|a||b|＝－42×4＝－12，又因a，b∈[0，π]，所以a与b的夹角是2π3，故选A.【答案】(1)D(2)A混淆两向量夹角为钝角与两向量数量积为负之间关系致误设两向量e1，e2满足：|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°.若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.【错解】由已知得e1·e2＝2×1×12＝1，于是(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7.因为2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，所以2t2＋15t＋70，解得－7t－12.【错因分析】当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角.【防范措施】若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180°，其数量积也为负.【正解】由已知得e1·e2＝2×1×12＝1，于是(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7.因为2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，所以2t2＋15t＋70，解得－7t－12.但是，当2te1＋7e2与e1＋te2异向共线时，它们的夹角为180°，也有2t2＋15t＋70，这是不符合题意的.此时存在实数λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ且7＝λt，解得t＝±142.故所求实数t的取值范围是－7，－142∪－142，－12.1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).2.数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同.3.a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分.1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是()A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0B.若λa＝0，则a＝0或λ＝0C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD.若a·b＝a·c，则b＝c【解析】由向量数量积的运算性质知A、C、D错误.【答案】B2.(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.【解析】由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－|b|23|b|2＝－13.【答案】－133.已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b方向上的射影是________.【解析】向量a在向量b方向上的射影是|a|cos60°＝4×12＝2.【答案】24.已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.【解】(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，a，b＝π2.∴a·b＝|a||b|cosπ2＝4×5×0＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝4×5×32＝103.一、选择题1.|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，所以a2＋|a||b|cosθ＝0，则1＋2cosθ＝0，所以cosθ＝－12，所以θ＝120°.故选C.【答案】C2.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A.2B.4C.6D.12【解析】∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6.【答案】C3.△ABC中，AB→·AC→＜0，则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cosA＜0，∴cosA＜0.∴A是钝角.∴△ABC是钝角三角形.【答案】C4.(2014·怀远高一检测)已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是()A.(－∞，－2)∪－2，12B.12，＋∞C.－2，23∪23，＋∞D.－∞，12【解析】∵a·b＝(i－2j)·(i＋λj)＝1－2λ＞0，∴λ＜12，又a、b同向共线时，a·b＞0，设此时a＝kb(k＞0)，则i－2j＝k(i＋λj)，∴k＝1，－2＝kλ，∴λ＝－2，∴a、b夹角为锐角时，λ的取值范围是(－∞，－2)∪－2，12，故选A.【答案】A5.(2014·皖南八校高一检测)在△OAB中，已知OA＝4，OB＝2，点P是AB的垂直平分线l上的任一点，则OP→·AB→＝()A.6B.－6C.12D.－12【解析】设AB的中点为M，则OP→·AB→＝(OM→＋MP→)·AB→＝OM→·AB→＝12(OA→＋OB→)·(OB→－OA→)＝12(OB→2－OA→2)＝－6.故选B.【答案】B二、填空题6.(2014·北大附中高一检测)向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.【解析】因为a·b＝|a||b|cos120°＝－32，所以|5a－b|2＝25a2－10a·b＋b2＝25－10×－32＋9＝49，所以|5a－b|＝7.【答案】77.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________.【解析】∵(3a＋2b)⊥(λa－b)∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0