2019-2020学年新人教A版必修二--复数复习---学案

复数【考纲要求】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.【知识网络】【考点梳理】考点一、复数的有关概念1.虚数单位i:（1）它的平方等于1，即21i；（2）i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程21x的一个根，方程21x的另一个根是i；（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（4）i的周期性：41ni，41nii，421ni，43nii（*nN）.2.概念形如abi（,abR）的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部。说明：这里,abR容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示；复数集与其它数集之间的关系：NZQRC4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数zabi（,abR），当且仅当0b时，复数zabia是实数；当且仅当0b时，复数zabi叫做虚数；当且仅当0a且0b时，复数zabibi叫做纯虚数；当且仅当0ab时，复数0zabi就是实数0.所以复数的分类如下:zabi（,abR）(0)(0)00bbab实数；虚数当且时为纯虚数5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果,,,abcdR，那么abicdiacbd且.特别地:00abiab.应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。6.共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：复数zabi和zabiabi（,abR）互为共轭复数。考点二：复数的代数表示法及其四则运算1.复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即abi（,abR），把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式。2.四则运算()()()()abicdiacbdi；()()()()abicdiacbdbcadi；复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：2222()()()()abiabicdiacbdbcadicdicdicdicdcd。考点三：复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi（,abR）可用点(,)Zab表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是000zi表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数zabi一一对应复平面内的点(,)Zab这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。2.复数的几何表示（1）坐标表示:在复平面内以点(,)Zab表示复数zabi（,abR）；（2）向量表示:以原点O为起点，点(,)Zab为终点的向量OZ表示复数zabi.向量OZ的长度叫做复数zabi的模，记作||abi.即22||||0zOZab.要点诠释:（1）向量OZ与点(,)Zab以及复数zabi有一一对应；（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。3.复数加法的几何意义：如果复数1z、2z分别对应于向量1OP、2OP，那么以1OP、2OP为两边作平行四边形12OPSP，对角线OS表示的向量OS就是12zz的和所对应的向量。4.复数减法的几何意义：两个复数的差12zz与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。要点诠释:1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。【典型例题】类型一：复数的有关概念【例1】m为何实数时，复数2(2)3(1)2(1)zimimi分别是(1)实数；(2)纯虚数；(3)零.【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。【答案】：22(232)(32)(21)(2)(1)(2)zmmmmimmmmi(1)当(1)(2)mm即1m或2m时，复数z是实数；(2)当(1)(2)0(21)(2)0mmmm即当21m时，复数z是纯虚数；(3)当0)2)(12(0)2)(1(mmmm即2m时，复数z是零。【总结升华】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：zabiR0bzz20z(,abR)；zabi是纯虚数00ab且0zz（0z）20z；举一反三：【变式1】设aR,zxyi（,xyR）,且2222zaza是纯虚数，求x、y应满足的条件。【答案】设2222zakiza(,0kRk)，则2222()zazaki即22(1)(1)zkiaki∴2222(2)(1)xyxyikiaaki即222222(2)(2)xyxykykxkxyiaaki∴22222222xyxykaykxkxyak,消去参数k即得：222xya.【例2】设复数z满足izi23)1(（i是虚数单位），则z的实部是_________【思路点拨】利用待定系数法，结合复数运算可求。【答案】1.【解析】设zabi，则(1)(1)(1)32iziabibaii，所以1,3ab，复数z的实部是1.【总结升华】本题考查的是复数的运算，解题的关键是设出复数z的代数形式zabi，然后运算求得复数，找出实部.举一反三：【变式】已知复数z满足||1z且21z,则复数12zz（）A.必为纯虚数B.是虚数但不一定是纯虚数C.必为实数D.可能是实数也可能是虚数【答案】[法1]设zabi（,abR），有221ab,0a.则22221121222zabiabiRzaabibaabia，故应选C。[法2]∵2||1zzz,∴2211()zzzRzzzzzzzzz.[法3]∵2||1zzz，∴2211(1)zzzRzzzzz.类型二：复数相等【例3】复数z1＝3a5＋(10-a2)i，z2＝2(2a5)i1a＋，若12zz是实数，求实数a的值.【思路点拨】12zz是实数，将12zz化简成a+bi形式可得。【解析】21232zza10i(2a5)ia51a＋＝＋＋＋2232()a10(2a5)ia51aa13(a2a15)i.a5a1＝＋＋［＋］＝＋＋∵12zz＋是实数，∴a2＋2a-15＝0，解得a＝-5或a＝3.又(a＋5)(a-1)≠0，∴a≠-5且a≠1，故a＝3.【总结升华】两个复数相等，a+bi=c+di(,,,)acabcdRbd.举一反三：【变式】若(x－i)i＝y＋2i，x、y∈R，则复数x＋yi＝()A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i【答案】B【解析】由题意得，xi＋1＝y＋2i，故x＝2，y＝1，即x＋yi＝2＋i.【例4】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同时满足M∩NM，M∩N≠Φ，求整数a,b【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。【解答】2(3)(1)3abii依题意得…………………………①或28(1)(2)abi…………………………………………②或223(1)1(2)abiabi…………………………③由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。∴a=-3，b=2由②得a=±3,b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2;由③得222231401230aaaabbbb即,此方程组无整数解。综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。【总结升华】利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。举一反三：【变式】已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.【解析】设z2=a+2i(a∈R)，由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i.【例5】实数m分别取什么数值时？复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方．【思路点拨】利用复数相等定义。【解析】(1)根据复数相等的充要条件得22562,21512mmmm解之得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得225612,21516mmmm解之得m＝1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，解之得m＜－3或m＞5.【总结升华】利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z=a+bi(a,b∈R)。举一反三：【变式】若a、b∈R，i为纯虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1【答案】C【解析】由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1.类型三：复数的代数形式的四则运算【例6】计算：计算iiii4342)1)(41(【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。【解析】iiii4342)1)(41(1432434iii227(7)(34)3434iiii21432825251.2525iiii【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用21i进行运算。举一反三：【变式】8)3122(ii【答案】：原式=8)23211(iiiiiiiiiiii3884341388)2321)(2321()2321(162321)2()2321(])2321[(])1[(422342【例7】100522011[(12)()]()12iiiii【解析】原式=5210[(12)1()]()iii210112iii【总结升华】复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想