《集合与常用逻辑用语》单元测试题(理科)

《集合与常用逻辑用语》单元测试题(理科)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则集合M与集合N的关系是(C)A．M＝NB．MNC．NMD．M∩N＝∅2．已知p：|x|2；q：x2－x－20，则¬p是¬q的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在△ABC中，“AB→·AC→＝BA→·BC→”是“|AC→|＝|BC→|”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是(C)A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假5．已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈Z}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则A∩B为(B)A．∅B．{1}C．[0，＋∞)D．{(0,1)}6．下列结论错误的．．．是(C)A．命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0,1]，ex≥1，命题q：∃x∈R，x2＋x＋10，则p∨q为真C．“若am2bm2，则ab”的逆命题为真命题D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题7．命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则(C)A．p是假命题，¬p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x01B．p是假命题，¬p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C．p是真命题，¬p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x01D．p是真命题，¬p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥18．“若x≠a且x≠b，则x2－(a＋b)x＋ab≠0”的否命题是(D)A．若x＝a且x＝b，则x2－(a＋b)x＋ab＝0.B．若x＝a或x＝b，则x2－(a＋b)x＋ab≠0.C．若x＝a且x＝b，则x2－(a＋b)x＋ab≠0.D．若x＝a或x＝b，则x2－(a＋b)x＋ab＝0.9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}与B＝{x|x＝2n，n∈N}，则正确表示集合A、B关系的韦恩(Venn)图是(A)10．若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R，则f(x)＞g(x)(x∈R)成立的充要条件是(D)A．∃x0∈R，f(x0)＞g(x0)B．有无穷多个x∈R，使得f(x)＞g(x)C．∀x∈R，f(x)＞g(x)＋1D．R中不存在x使得f(x)≤g(x)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．已知命题甲：a＋b≠4，命题乙：a≠1且b≠3，则命题甲是命题乙的________条件．既不充分也不必要12.已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为m－n13．函数f(x)＝logax－x＋2(a0且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是___a1_____．14.设p：4x＋3y－12≥03－x≥0x＋3y≤12，q：x2＋y2r2(x，y∈R，r0)，若p是q的充分不必要条件，则r的取值范围是___0，125_____．15．方程x24－t＋y2t－1＝1表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不可能为圆；②若1t4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t1或t4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1t52.其中真命题的序号是___③④___(写出所有正确命题的序号)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1x4}，求实数m的值．[解析]由6x＋1－1≥0知，0x＋1≤6，∴－1x≤5，A＝{x|－1x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1x3}则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．(2)A＝{x|－1x≤5}，A∩B＝{x|－1x4}，∴有－42＋2·4＋m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2x4}，符合题意．17．(本小题满分12分)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．解析：(1)由题意x∈P是x∈S的充要条件，则S＝P.由x2－8x－20≤0⇒－2≤x≤10，∴P＝[－2,10]．由|x－1|≤m⇒1－m≤x≤1＋m，∴S＝[1－m,1＋m]．要使P＝S，则1－m＝－2，1＋m＝10.∴m＝3，m＝9.∴这样的m不存在．(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则满足SP.由|x－1|≤m可得1－m≤x≤m＋1，要使SP，则1－m≥－2，1＋m≤10且不同时取等号，∴m≤3.综上可知，m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．18．(本小题满分12分)已知全集U＝R，非空集合A＝{x|x－2x－3a＋10}，B＝{x|x－a2－2x－a0}．(1)当a＝12时，求(∁UB)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．[解析](1)当a＝12时，A＝{x|x－2x－520}＝{x|2x52}，B＝{x|x－94x－120}＝{x|12x94}．∴(∁UB)∩A＝{x|x≤12或x≥94}∩{x|2x52}＝{x|94≤x52}．(2)若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B，由a2＋2a，得B＝{x|axa2＋2}，当3a＋12，即a13时，A＝{x|2x3a＋1}，a≤2a2＋2≥3a＋1，解得13a≤3－52；当3a＋1＝2，即a＝13时，A＝∅，符合题意；当3a＋12，即a13时，A＝{x|3a＋1x2}．a≤3a＋1a2＋2≥2，解得－12≤a13；综上，a∈[－12，3－52]．19．(本小题满分12分)已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0.命题q：∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋10.若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．[解析]由条件知，a≤x2对∀x∈[1,2]成立，∴a≤1；∵∃x0∈R，使x20＋(a－1)x0＋10成立，∴不等式x2＋(a－1)x＋10有解，∴Δ＝(a－1)2－40，∴a3或a－1；∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．①p真q假时，－1≤a≤1；②p假q真时，a3.∴实数a的取值范围是a3或－1≤a≤1.20．(本小题满分13分)设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．[解析]令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，则g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a，令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1.(1)当a≤1时，对所有x0，g′(x)0.所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数．又g(0)＝0，所以对x≥0，有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax.(2)当a1时，对于0xea－1－1，g′(x)0，所以g(x)在(0，ea－1－1)上是减函数．又g(0)＝0，所以对0xea－1－1，有g(x)g(0)，即f(x)ax.所以当a1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上所述a的取值范围是(－∞，1]．21．(14分)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．(1)求证：“如果直线l过点(3,0)，那么OA→·OB→＝3”是真命题．(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解析](1)设l：x＝ty＋3，代入抛物线y2＝2x，消去x得y2－2ty－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6，OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2＝－6t2＋3t·2t＋9－6＝3.∴OA→·OB→＝3，故为真命题．(2)(1)中命题的逆命题是：“若OA→·OB→＝3，则直线l过点(3,0)”它是假命题．设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，消去x得y2－2ty－2b＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b.∵OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b，令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1，此时直线l过点(3,0)或(－1,0)．故逆命题为假命题．