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《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系2．运算规则（1）（2）（3）（4）3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5）（6），若，则，（7）（8）4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式：（4）Bayes公式：7．事件的独立性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对任意，2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）；（3）对任意，4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，；（6）为连续函数，且在连续点上，5．正态分布的概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3）若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位数，则6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2（3），2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有（1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积4．二维正态分布且；5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对二维连续随机向量，6．随机变量的独立性独立（1）离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征1．期望(1)离散时(2)连续时，；，；(3)二维时，(4)；（5）；（6）；（7）独立时，2．方差（1）方差，标准差（2）；（3）；（4）独立时，3．协方差（1）；；；（2）（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）4．相关系数；有，5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理1．Chebyshev不等式2．大数定律3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布，或，或或，（2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，或理解为若，则第六章样本及抽样分布1．总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值（，）；样本方差）样本标准样本阶原点矩，样本阶中心矩2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）分布，其中标准正态分布，若且独立，则；（2）分布，其中且独立；（3）分布，其中性质4．正态总体的抽样分布（1）；（2；（3且与独立；（4）；，（5）（6）第七章参数估计1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max）3．估计量的评选原则，则为无偏；(2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效；(1)无偏性：若《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则生的概率为2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间密度为4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_________，5．设总体的概率密度为是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为解：1．即所以.2．由知即解得，故.3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则因为，所以，即故另解在上函数严格单调，反函数为所以4．，故.5．似然函数为解似然方程得的极大似然估计为二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若，则与也独立.（B）若，则（C）若，则与也独立.与也独立（D）若，则与也独立.（）2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.（B）（C）.（D）.（）3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是（A）与独立.（B）（C）.（D）.（）4．设离散型随机变量和的联合概率分布为若独立，则的值为（A）.（A）..（）（C）（D）5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是的无偏估计量.（B）X1是的极大似然估计量.（C）X1是的相合（一致）估计量.（D）X1不是的估计量.（）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）事实上由图可见A与C不独立2．所以3．由不相关的等价条件知应选（B）.4．若独立则有应选（A）.2，9故应选（A）5．，所以X1是的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’‘任取一产品确是合格品’则（1）（2）.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3件是相互独立的，并且概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：的概率分布为即的分布函数为五、（10分）设二维随机变量在区域匀分布.求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密（1）的概率密度为（2）利用公式其中当或时时故的概率密度为的分布函数为或利用分布函数法六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标互独立，且均服从分布.求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离1）；（2）.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16样本，测得样本均值，样本方差.（1）求的置信度为0.95区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.（附注）解：（1）的置信度为下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）的拒绝域为，因为，所以接受《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，，，则事件、、中仅发生或仅概率为（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为（3）设随机变量的概率密度为现对察，用表示观察值不大于0.5的次数，则___________.（4）设二维离散型随机变量的分布列为若，则（5）设是总体的样本，是样本方差，若，（注：,,,）解：（1）因为与不相容，与不相容，所以，故同理..（2）设‘四个球是同一颜色的’，‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’则.所求概率为所以（3）其中，，（4）的分布为这是因为，由得，故（5）即，亦即.二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设、、为三个事件，且，则有（A）（B）（C）（D）（2）设随机变量的概率密度为且，则在下列各组数中应取（A）（B）（C）.（D）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为则有（））（A）（B）（C）（D）（）（4）对任意随机变量，若存在，则等于（A）（B）（C）（D）（）（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的置信区间为（B）（C）（）（D）解（1）由知，故（A）应选C.（2）即时故当应选（3）应选（4）应选（5）因为方差已知，所以的置信区间为应选D.三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。解：设‘从箱中任取2件都是一等品’‘丢失等号’.则；所求概率为四、（10分）设随机变量的概率密度为求（1）常数；（2）的分布函数；（3）解：（1）∴（2）的分布函数为（3）五、（12分）设的概率密度为求（1）边缘概率密度；（2）；（3）的概率密度（2）（3）时时六、（10分）（1）设，且与独立，求；（2）设且与独立，求.；（2）因相互独立，所以七、（10分）设总体的概率密度为试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计解：先求矩估计故的矩估计为再求极大似然估计所以的极大似然估计为《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设,,，则至少发生一个的概率为（2）设服从泊松分布，若，则（3）设随机变量的概率密度函数为今对进行8独立观测，以表示观测值大于1的观测次数，则（4）的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为（5）设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16，.在置信度0.95下，的置信区间为得（2）故.解：（1）（3），其中.（4）设第件元件的寿命为，则求概率为（5）的置信度下的置信区间为.系统的寿命为，所以的置信区间为（）.二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（）中，每小题3分，共15分）（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是（A）（B）（C）..（D）.（）（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取.（B）.（C）.（D）.（）（3）设随机变量的分布函数为，则的分布函数为（A）（A）.（B）.（D）.（）（4）设随机变量的概率分布为.且满足，则的相关系数为（C）.（C）.（D）.（）相互独立，根据切比（5）设随机变量雪夫不等式有（A）0.（B.（C）.（D）.（）解：（1）（A）：成立，（B）：应选（B）（A）.（B）（2）.应选（C）（3）应选（D）（4）的分布为，所以，于是.应选（A）（5）由切比雪夫不等式应选（D）三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。解：设‘一天中恰有个顾客购买种商品’‘一天中有个顾客进入超市’则四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）的分布列.（2）和.解：（1），其中由得所以故的分布列为（2），.五、（10分）设在由直线及曲线y上服从均匀分布，（1）求边缘密度和，并说明与是否独立.（2）求.解：区域D的面积的概率密度为所围成的区域（1）（2）因，所以不独立.（3）.六、（8分）二维随机变量在以为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求的概率密度。设的概率密度为，则当或时当时所以的密度为解2：分布函数法，设的分布函数为，则故的密度为七、（9分）已知分子运动的速度具有概率密度为的简单随机样本（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计；（2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。解：（1）先求矩估计再求极大似然估计得的极大似然估计（2）对矩估计是的无偏估计所以矩估计八、（5分）一工人负责台同样机床的维修，这台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距离为（米）。假设每台机床发生故障的概率均为，且相互独立，若表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程，求解：设从左到右的顺序将机床编号为为已经修完的机器编号，表示将要去修的机床号码，则于是《概率论与数理统计》试题（5）一、判断题（每小题3分，本题共15分。正确打“√”，错误打“×”）⑴设A、B是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B)()⑵设A、B是Ω中的随机事件,则A∪B=A∪AB∪B()⑶若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=p(⑷样本均值=是母体均值EX的一致估计（）⑸X～N(,