函数及函数性质知识点总结

1函数复习主要知识点二、函数的解析式与定义域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1设)(xf是一次函数，且34)]([xxff，求)(xf配凑法：已知复合函数[()]fgx的表达式，求()fx的解析式，[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域，而是()gx的值域。例2已知221)1(xxxxf)0(x，求()fx的解析式三、换元法：已知复合函数[()]fgx的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3已知xxxf2)1(，求)1(xf四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf例6设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例7已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设)(xf是N上的函数，满足1)1(f，对任意的自然数ba,都有abbafbfaf)()()(，求)(xf1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；6.（05江苏卷）函数20.5log(43)yxx的定义域为2求函数定义域的两个难点问题（1）()x已知f的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。（2）(21)xx已知f－的定义域是[-1,3],求f()的定义域例2设2()lg2xfxx，则2()()2xffx的定义域为__________2变式练习：24)2(xxf，求)(xf的定义域。三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；⑦利用对号函数⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1．（直接法）2123yxx2．2()2242fxxx3．（换元法）12xxy4.（Δ法）432xxy5.11y22xx6.(分离常数法)①1xxy②31(24)21xyxx7.(单调性)3([1,3])2yxxx8.①111yxx，②11yxx9．(图象法)232(12)yxxx10．(对勾函数)82(4)yxxx11.(几何意义)21yxx四．函数的奇偶性1．定义:2.性质：①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系1已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数.当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf.2已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；3已知)(xf在（－1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyxfyfxfyx有证明：)(xf在（－1，1）上为奇函数；4若奇函数))((Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_______五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2设xgfy是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则xgfy在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则xgfy在M上是增函数。32例函数)(xf对任意的Rnm,，都有1)()()(nfmfnmf，并且当0x时，1)(xf，⑴求证：)(xf在R上是增函数；⑵若4)3(f，解不等式2)5(2aaf3函数)26(log21.0xxy的单调增区间是________4(高考真题)已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11[,)73（D）1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值2，作差3，定号4，结论二：函数单调性的判定，求单调区间322xxy322xxy452xxy3212xxy)23(log22xxyxxy4221xxy21251212xxyxaxy（0a）xaxy（0a）三：函数单调性的应用1.比较大小例：如果函数cbxxxf2)(对任意实数t都有)2()2(tftf，那么A、)4()1()2(fffB、)4()2()1(fffC、)1()4()2(fffC、)1()2()4(fff2.解不等式例：定义在（－1，1）上的函数()fx是减函数，且满足：(1)()fafa，求实数a的取值范围。例：设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的x的取值范围.3.取值范围例:函数在上是减函数,则的取值范围是_______．例：若(31)41()log1aaxaxfxxx是R上的减函数，那么a的取值范围是（）A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74.二次函数最值例：探究函数12)(2axxxf在区间1,0的最大值和最小值。4例：探究函数12)(2xxxf在区间1,aa的最大值和最小值。5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(xf的定义域是),0(，当1x时，0)(xf，且)()()(yfxfxyf⑴求)1(f，⑵证明)(xf在定义域上是增函数⑶如果1)31(f，求满足不等式)21()(xfxf≥2的x的取值范围例：已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．例：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)－2.六．函数的周期性：1．（定义）若)0)(()(TxfTxf)(xf是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是)(xf的周期（推广）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期对照记忆()()fxafxa说明：()()faxfax说明：2．若)()(xfaxf；)(1)(xfaxf；)(1)(xfaxf；则)(xf周期是2a1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为(A)－1(B)0(C)1(D)22定义在R上的偶函数()fx，满足(2)(2)fxfx，在区间［-2,0］上单调递减，设(1.5),(2),(5)afbfcf，则,,abc的大小顺序为_____________3已知f(x)是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(fxfxfxf若则f(2005)=.4已知)(xf是(-，)上的奇函数，)()2(xfxf，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)=________例11设)(xf是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足)()2(xfxf，当]2,0[x时22)(xxxf⑴求证：)(xf是周期函数；⑵当]4,2[x时，求)(xf的解析式；⑶计算：七．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1、已知函数54)(2mxxxf在区间),2[上是增函数，则)1(f的范围是（）5（A）25)1(f(B)25)1(f(C)25)1(f(D)25)1(f2、方程0122mxmx有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______八．指数式与对数式1．幂的有关概念(1)零指数幂)0(10aa(2)负整数指数幂10,nnaanNa(3)正分数指数幂0,,,1mnmnaaamnNn；(5)负分数指数幂110,,,1mnmnmnaamnNnaa(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2．有理数指数幂的性质10,,rsrsaaaarsQ20,,srrsaaarsQ30,0,rrrabababrQ3．根式根式的性质:当n是奇数，则aann；当n是偶数，则00aaaaaann4．对数(1)对数的概念:如果)1,0(aaNab,那么b叫做以a为底N的对数,记)1,0(logaaNba(2)对数的性质：①零与负数没有对数②01loga③1logaa(3)对数的运算性质logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(logloglogmmaaNaNNmma且且对数的降幂公式：)10,0(loglogaaNNmnNanam且(1)213323121)()1.0()4()41(baab(2)1.0lg10lg5lg2lg125lg8lg十．指数函数与对数函数1、指数函数y=ax与对数函数y=logax(a0,a≠1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=ax(a0且a≠1)y=logax(a0,a≠1)定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)过定点（０，1）（1，０）图象指数函数y=ax与对数函数y=logax(a0,a≠1)图象关于y=x对称6单调性a1,在(-∞,+∞)上为增函数０＜a1,在(-∞,+∞)上为减函数a1,在(0,+∞)上为增函数０＜a1,在(0,+∞)上为减函数值分布y1?y1?y0?y0?2.比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。1、（1）)35lg(lgxxy的定义域为