函数与极限知识点

第一章函数与极限函数与极限——微积分中的二个重要基本概念函数——高等数学研究的基本对象．极限——是否采用极限的运算方法，是高等数学与初等数学的根本区别．第一节函数一．函数概念：１．常量与变量：常量：某一变化过程中保持数值不变的量.变量：在某一变化过程中取不同数值的量．一个量是常量还是变量只是相对而言的．例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2(初等数学研究的主要对象)例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量.２．函数的概念：函数关系——变量之间的依赖关系函数定义：设ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ,都有一个(或多个)确定的y值与之对应,则称f是Ｘ上的函数.记作：y=f(x)，xX．ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义域．而所有对应的ｙ值组成的数集Ｙ则称为函数的值域．３．函数的表示方法：解析法(如y=f(x))列表法图象法其他函数的表示法解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:cosx-π≤x≤010＜x＜11/xx≥1f(x)=(分段函数)注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数．√幂函数：ｙ=xa指数函数：ｙ=ax对数函数：ｙ=logax三角函数：ｙ=sinx，y=cosx,y=tgx,y=ctgx.反三角函数：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.二．初等函数：1．基本初等函数：(中学学过的）2．复合函数：形如：ｙ=f[(φ(x)](u=φ(x))定义:设变量y是变量u的函数,变量u又是变量x的函数即y=f(u),u=φ(x),如果变量x的某些值通过中间变量u可以确定变量y的值时,则称y是x的复合函数,记作y=f[φ(x)](y—因变量,u—中间变量(既是自变量又是因变量),x—自变量)注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域.②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如:y=f｛φ[ω(x)]｝例：y=cos(2t+π/3)那么拆成什么形式好呢?▲.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等函数或是它们的和,差,积,商.将复合函数拆成简单函数：（重点）例：.13sin2)13sin(2xvvuayayux，，可分解为：21sin2122sin,.uxyyuvvx可分解为：，，例：可分解为:y=cosx,x=2t+π/3.或:y=cos2x,x=t+π/63．初等函数定义：由基本初等函数经过有限次加，减，乘，除四则运算和有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数．（注：不用一个式子表示的函数就不是初等函数）问：分段函数是否是初等函数？不是初等函数，但它是一个函数.例：.arcsin11cosln222xtgxxyxxayxy，，都是初等函数。第二节函数的极限极限概念的引入:例1.有一变量其变化趋势为:1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...则该变量的极限是0.(数列极限)一.函数的极限:对于函数y=f(x),我们将分别考察以下两种情况的极限:1.自变量x→x0时函数的极限.2.自变量x→∞时函数的极限.x→x0-0时,函数的极限x→x0+0时,函数的极限x→-∞时,函数的极限x→+∞时,函数的极限1.x→x0时函数的极限:记作:⑴定义:设函数f(x)在点x0附近有定义(但在x0处可以没有定义),当自变量x以任何方式无限趋近于定值x0时,若函数f(x)无限趋近于一个常数A,就说当x趋近于x0时,函数f(x)以A为极限.注:①仅要求函数在点x0附近有定义,但在x0处可以没有定义.②“自变量x以任何方式无限趋近于定值x0”是指左趋近和右趋近(对于一元函数).Axfxx)(lim0⑵.函数的单侧极限:左极限：右极限：x从左侧趋近于x0时产生的极限.记作:x从右侧趋近于x0时产生的极限.记作:Axfxx)(lim00Axfxx)(lim00即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在例:右图中的函数f(x)(分段函数)AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(:)(lim00000当且仅当存在的充要条件极限▲.BAxyx0oAxfxx)(lim00Bxfxx)(lim00∵A≠B,即左极限≠右极限∴此函数f(x)在x0处的极限不存在.2.x→∞时函数的极限:⑴函数在正无限处极限:⑵函数在负无限处极限:⑶函数在正负无限处极限:oxyAAxfx)(limAxfx)(limAxfx)(lim例:对于函数f(x)=arctgx,x→∞时极限是否存在?解:当x→+∞时,f(x)=arctgx→π/2,∴函数极限不存在(当x→∞时).)(lim)(limxfxfxxOYxπ/2π-π/2π当x→-∞时,f(x)=arctgx→-π/2.AxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(:)(lim当且仅当存在的充要条件极限▲.极限不存在的几种情形式:1.当x→x0(x→∞)时,f(x)→∞,极限不存在.这时虽然f(x)的极限不存在,但也可记作:2.左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等时,极限不存在.3.当x→x0(x→∞)时,f(x)的变化趋势振荡不定,此时函数极限不存在.)(lim0xfxx)(limxfx二.无穷小和无穷大.1.无穷小定义:以零为极限的变量就是无穷小量.例:当x→+∞时,1/x的极限为零;注:①称一个函数是无穷小量时,必须指出其自变量的变化趋势.②无穷小量是变量而不是常数0,也不是很小的数(如10-10000)但0可以看成是无穷小量。当x→1时,x-1的极限也是零.2.无穷大定义:在变化过程中其绝对值无限变大,(无穷大量的变化趋势和无穷小的变化趋势相反)例:当x→0时,1/x的值无限增大;注:①称一个函数是无穷大量时,必须指出其自变量的变化趋势.②无穷大量是变量,而不是一个很大的量.▲.无穷大量,无穷小量是变量,而不是一个确定的量.当x→π/2时,y=tgx的绝对值│y│无限增大.3.无穷小与无穷大的关系:互为倒数关系例:当x→0时,1/x为无穷大量,而x为无穷小量.(在同一变化过程中).4.无穷小定理:定理1.函数f(x)以A为极限的充分必要条件是函数f(x)与常数A之差是一个无穷小量.即limf(x)=A成立的充要条件是:lim[f(x)-A]=0亦即,若函数f(x)以A为极限,若设f(x)-A=α,则α为该极限过程中的无穷小量.0211lim211lim:22）（例xxxx定理2.有限个无穷小的代数和仍为无穷小量.定理3.有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小量.(有界函数:若函数f(x)在某个区间X内满足:A≤f(x)≤B,其中A,B是两个定数,则称f(x)在区间X内有界,A—下界,B—上界).推论1.常数与无穷小量之积仍为无穷小量.推论2.有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量.0sinlimxxx例：5.无穷小的比较:设α,β为两个无穷小.①若limα/β=0(或limβ/α=∞),则称α是比β高阶的无穷小或称β是比α低阶的无穷小.②若limα/β=k≠0,则称α与β是同阶无穷小.特别地若limα/β=1,则称α与β是等价无穷小.记作:α∽β即limα/β=0α是比β高阶的无穷小.∞α是比β低阶的无穷小.k≠0α与β是同阶无穷小.1α与β是等价无穷小.三.极限的四则运算法则:定理:设在某变化过程中有limf(x)=A,limg(x)=B,则有:①lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B.②lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB③limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B(B≠0)性质:①limC=C(C为常量).②limCf(x)=Climf(x)③lim[f(x)]n=[limf(x)]n(n为正整数).）（：求例12lim1232xxx1lim2limlim:22232xxxxx原式解1)lim(2)lim(2232xxxx118815lim.221xxx求例251lim5lim:211）（原式解xxxx11lim.331xxx求例31)1)(1(lim,0,1(:21xxxxxx原式故不能用极限的商定理)分母的极限为时当解152263lim:5233xxxxx求例332233152263lim152263lim:xxxxxxxxxx解231lim1lim521lim21lim63332xxxxxxxx四.两个重要极限:第三节函数的连续性函数的连续性反映在图形上就是：函数曲线是连续而不间断的xyxyoo（连续的）（在x0处间断）x0y=f(x)y=f(x)一.函数的增量:函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数y就从f(x0)变到f(x1),这时称△x=x1-x0为自变量x的增量,称△y=f(x1)-f(x0)或△y=f(x0+△x)-f(x0)为函数在x=x0处的增量.函数增量的几何意义:△yf(x0)f(x1)x0x1=x0+△xy=f(x)△xABxyo记作:△y=f(x1)-f(x0)或△y=f(x0+△x)-f(x0)二.函数的连续点与间断点:1.连续性定义:设函数y=f(x)在点x0及其附近有定义,当x0有一增量△x时,相应地函数也有一增量:△y=f(x0+△x)-f(x0),若则称函数y=f(x)在点x0处连续(并称x0为函数的连续点)0)]()([limlim0000xfxxfyxx若以x=x0+△x代入上式,则有△x→0.则有)()(lim00xfxfxx于是函数的连续性定义可用以下三种不同的形式给出:)()(lim000xfxxfx②)()(lim00xfxfxx③①0lim0yx(其中△x=x-x0,△y=f(x)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)连续函数的几何意义:xyoy=f(x)x0(x0,y0)由定义知:函数y=f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件:①f(x)在点x0及其附近有定义.(要求比极限存在的条件高)2.间断点:不满足以上三个条件之一的点就叫做f(x)的间断点.极限必须存在（即）)(lim0xfxx②)(lim)(lim00xfxfxxxx)()(lim00xfxfxx（即该极限等于点x0处的函数值）③例:举一例说明间断点的第③种情形:11sin)(xxxfy当x≠0时当x=001sinlim)(lim00xxxfxx解:∵而f(0)=1∴y=f(x)在x=0处不连续.(若定义中x=0时,f(x)=0,则f(x)在x=0处连续)3.函数的左连续与右连续:4.函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是:①左连续:若函数f(x)在x0点及某一邻域内有定义,且只有则称f(x)在点x0处左连续.)()(lim000xfxfxx(即充要条件为:f(x)在x0点既是左连续又是右连续))(lim)(lim00000xfxfxxxx)()(lim00xfxfxx即:②右连续:若函数f(x)在x0点及某一邻域内有定义,且只有则称f(x)在点x0处右连续.)()(lim000xfxfxx5.连续点与极限的关系:函数在x0点处连续函数在x0处极限存在(回忆极限定义与连续点定义)解:∵f(x)在点x=3处没有定义.∴点x=3是一个间断点.例:考察函数的间断点.39)(2xxxf0xyA(3,6)3(虽然极限存在)2339limlim363xxxxx（）2)2(lim)(lim20000xxfxx)(lim)(lim0000xfxfxx