1向量性质描述的判断例1.已知a、b、c是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为()①bababa//;②a、b反向baba③bababa;④cbcabaA.1B.2C.3D.4分析:需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.①中∵cosbaba,∴由baba及a、b为非零向量可得1cos,∴0或,∴ba//且以上各步均可逆,故命题①是真命题.②中若a、b反向,则a、b的夹角为,∴bababacos且以上各步均可逆,故命题②是真命题.③中当ba时,将向量a、b的起点确定在同一点,则以向量a、b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有baba.反过来,若baba,则以a、b为邻边的四边形为矩形,所以有ba,因此命题③是真命题.④中当ba但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有cbca,反过来由cbca也推不出ba.故命题④是假命题.答案:C小结:(1)两向量同向时,夹角为0(或0);而反向时,夹角为(或180);两向量垂直时,夹角为90.因此当两向量共线时,夹角为0或,反过来若两向量的夹角为0或,则两向量共线.(2)对于命题④我们可以改进为:ba既不是cbca的充分条件也不是必要条件.利用定义求向量的数量积例1.已知4a,5b,当(l)ba//(2)ba,(3)a与b的夹角为30时,分别求a与b的数量积。分析:已知a与b,求ba,只需确定其夹角,须注意到ba//时,有0和180两种可能。解:(1)ba//,若a与b同向,则0,∴20540cosbaba;若a与b反向,则180,∴20154180cosbaba,(2)当ba时,90,∴090cosbaba,(3)当a与b的夹角为30时,2310235430cosbaba.小结:(1)对于数量积cosbaba,其中的取值范围是180,0;(2)非零向量a和b,0baba;(3)非零向量a和b共线的充要条件是baba.向量数量积的运算例1、已知向量ji,为相互垂直的单位向量,jibajiba168,82,那么._____ba分析:应先求出ba,,再计算ba.解:由已知,82jiba①,168jiba②①+②得.43jia①-②得.125jib故.634815)125()43(jijiba小结:解决本题也可利用向量坐标运算,或22)()(4bababa求解.向量的夹角例1、已知不共线向量a,b,3a,2b,且向量ba与ba2垂直.求:a与b的夹角的余弦值.分析:由向量数量积定义知babacos,所以需求ba之值.由已知得0)2()(baba,从中可求得ba之值.解:)2()(baba垂直,0)2()(baba根据向量数量积的运算律得0222bbaa,3a,2b1222babacosbaba361cosbaba,即为所求.小结:非零向量0cosbababa是应用向量解决有关垂直问题很重要的手段,特别是根据向量数量积的定义,把研究形的问题,转化为数量问题,如已知1a2b,a与b夹角为60,问当k取何值时,)(bak与)23(ba垂直,160cosbaba,由0)23()(babak可求得5k.向量垂直时的参数值例1.已知3,2,baba,当baba23时,求实数的值.分析:求一个实数的值,运用方程的思想,建立一个方程,通过解方程使问题得解.解:ba,0ba.baba23,023baba,即02)23(322bbaa,02)23(322bbaa※.把3,2ba,0ba代入※式,得.23,0320232322小结:通过向量垂直两向量的数量积为0,建立等式将向量问题转化为方程求解.向量垂直的证明例1.已知非零向量a和b夹角为60,且baba573,求证:baba274.分析:欲证两个向量垂直只需证明它们的数量积为零.证明:因为a和b夹角为60,所以bababa2160cos;又因为baba573,所以0573baba,即01587152116715167222222bbaabbaabbaa,0157baba,,0ba即ba.因为22222281578213078307274bbaabbaabbaababa,把ba代入上式消去b得baba2740815722aaaa.所以baba274.小结:这也是垂直的证明问题,但不是从平面几何的角度,而是直接从数量积的角度给出条件,再运用数量积的有关知识解决问题.向量垂直例1、已知向量ji,为相互垂直的单位向量,设,3)1(jima,)1(jmib)()(baba,则._____m分析:本题考查向量运算,两向量垂直的充要条件.4解:由题设可知jmimba)4()2(,jmimba)2(.由0)()(baba,得0])2(][)4()2[(jmimjmim,即0)2)(4()2(mmmm,得2m.小结:解决本题时,应注意1,022jiji.另外,解本题时,也可利用向量的坐标表示求解,即)2,(),4,2(mmbammba,再运用向量垂直的充要条件求出m的值.求向量夹角的余弦例1.设,6a,10b64ba,则a与b的夹角的余弦值为_____.分析:要求夹角需先求出ba的值。解:64ba,2222226422bababbaabababa.把,6a,10b代入得20ba.由cosbaba,得,cos10620于是31cos.小结:本题涉及了平面向量的数量积的概念,性质22aaaa以及有关运算律,体现了较强的综合性.判断四边形形状例1、平面四边形ABCD中,aAB,bBC,cCD,dDA,且addccbba,判断四边形ABCD的形状.分析:在四边形ABCD中可知,0dcba,故)(dcba,两边平方后,根据题设可得四边形ABCD边长的关系,由此从四边形的边长及内角的情况来确定四边形的形状.证明:由四边形ABCD可知,0dcba(首尾相接))(dcba,即22)()(dcba展开得222222ddccbbaadcba,)1(2222dcba同理可得)2(2222cbda5(1)-(2)得2222caab,db,ca,即CDAB,DABC,故四边形ABCD是平行四边形.由此ca,db又cbba,即0)(cab0)2(ab即BCABba故四边形ABCD是矩形小结:利用向量数量积及有关知识,可以解决许多几何问题,特别是几何图形形状的判断,因为向量积与长度(模)和角有关.如用向量证明等腰三角形底边上的中线垂直于底边.如图所示,ABC为等腰三角形ACAB,D为底边BC的中点.设aAB,bAC,ba,abBC,)(21baAD0)(21)(21)(22abababADBC故BCAD,命题成立.利用向量垂直证明平面几何垂直问题例1.如图,已知ABC中,C是直角,CBCA,D是CB的中点,E是AB上的一点,且EBAE2.求证:CEAD.分析:借助向量垂直的充要条件解题,即证明0CEAD.证明:设此等腰直角三角形的直角边长为a,则AECACDACCEADAECDAEACCACDCAAC2232222232202aaaaa03132222aaa.所以DEAD.小结:用向量方法证明几何问题时,一般应把已知和结论转化成向量的形式,再通过相应的向量运算完成证明,不难发现,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度关系等方面的几何问题,利用向量的数量积可解决长度关系、角度、垂直等几何问题。6已知平行四边形对角线一半的数量积例1、如图所示,已知平行四边形ABCD,aAB,bAD,4a,2b,求:OBOA.分析:根据向量数量积定义cosOBOAOBOA,来求OBOA显然不行,因为OA,OB,cos都无法确定.怎么办呢?由于ACOA21,DBOB21,而baAC,baDB,由此DBACOBOA41)()(41baba)(4122ba,从而可求得OBOA.解:ABCD为平行四边形,根据向量的加、减法法则知:baAC,baDB)()(babaDBAC22ba1222baO点为平行四边形ABCD对角线AC、DB的交点,即O为AC、DB的中点,ACOA21,DBOB21.)(41DBACOBOA31241小结:(1)通过本题我们看到了)()(baba与ba的夹角无关,只与a、b有关.(2)直接应用向量数量积的定义,本题无法求OBOA,而把问题转移一下,用间接的方法来解决此问题,这是数学中常用的方法.(3)a与b不共线时,ba与ba垂直的充分条件是ba.怎样用平面向量的数量积处理有关垂直的问题?[例2]如图5-6-8,已知AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点证明:设BE、CF相交于H,并设AB=b,AC=c,AH=h,则BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b∵BH⊥AC,CH⊥AB∴(h-b)·c=0,(h-c)·b=0图5-6-87∴(h-b)·c=(h-c)·b化简得:h·(c-b)=0∴AH⊥BC,∴AH与AD重合,∴AD、BE、CF相交于一点H.怎样用平面向量的数量积处理有关长度及夹角的问题?[例3]若向量a+3b与7a-5b垂直,并且向量a-4b与7a-2b垂直,求非零向量a与b的夹角.分析:本题考查向量的综合运算能力和逻辑思维能力.解:由已知,得,0)27()4(0573babababa,)()(即①×15+②×8,得161a2-161b2=0,故|a|=|b|.③设向量a与b的夹角为θ,由②,得30|a|·|b|cosθ=7|a|2+8|b|2.将③式代入上式,得cosθ=21,故θ=60°,即a与b的夹角为60°.怎样用向量运算的几何性质证明几何问题?[例4]已知ABCD是平行四边形.求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2)证明:设AB=a,AD=b,则AC=a+b,BD=b-a,于是|AC|2+|BD|2=|a+b|2+|b-a|2=(a+b)2+(b-a)2=2(a2+b2)=2(|AB|2+|AD|2).评注:这是一个重要的平面几何结论,证法很多,都