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11.3多边形及其内角和知识回顾：什么是三角形、三角形的边、顶点、内角和外角？在平面内，由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形。ABCABCD记作：△ABC在平面内，由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做四边形。记作：四边形ABCDABCDEABCEDF在平面内，由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做五边形。在平面内，由六条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做六边形。记作：六边形ABCDEF记作：五边形ABCDE多（n）边形的定义：在平面内，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。多边形的内角和外角：一个四边形有几个外角？多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。如图是四边形ABCD，求作它的所有对角线.ABCD在图（1）中，画出四边形的任何一条边所在的直线，这个图形都在这条之间的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形；而图（2）的四边形中，画出一边所在的直线后，图形在直线的两侧，我们就称其为凹四边形.（1）（2）（通常所说的多边形都是指凸多边形）问题1五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？答：五边形有5个内角，10个（5对）外角；六边形有6个内角，12个（6对）外角.问题：n边形有多少个内角？多少个外角？答：n边形有n个内角，2n个（n对）外角.如果多边形的各个角都相等，各条边都相等，那么就称它为正多边形.如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形等.议一议：（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？课时思考11.3多边形及其内角和1.画出下列多边形的全部对角线.课时思考11.3多边形及其内角和2.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？答：四边形的一条对角线将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以画出2条对角线？它们将五边形分成3个三角形.问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少？任意一个四边形的内角和是多少？问题1：你还记得三角形内角和是多少度？（三角形的内角和等于180°）（都是360°）想一想ABCD问题3：在探究四边形的内角和时，有的同学不是用量角器度量、计算得到，而是按照如图所示，利用辅助线将四边形分割成两个三角形的方法，利用三角形内角和等于180°，得到四边形内角和等于360°。你能说明它的合理性吗？并且启发你能否借助辅助线找到不同的分割方法呢？想一想PABCD图1如图1，在四边形内任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180°×4－360°=360°学一学PABDC图2如图2，在四边形的一边上任取一点P,连接PB、PC，将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，四边形内角和等于180°×3－180°=360°PABCD图3如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180°×3－180°=360°你知道五边形的内角和吗？六边形呢？七边形呢？你能证明吗？请你选择喜欢的一种方法解答上述问题。想一想多边形的内角和分成的三角形个数n…6543多边形的边数n－2(n－2)·180°1234180°360°540°720°……ABCABCDABCDEABCEDF你知道n边形的内角和吗？1、利用在探究上述多边形内角何时得到的规律，可得n边形的内角和等于（n－2）·180°.想一想2、我们也可以利用下列不同的方法分割多边形，得到n边形的内角和公式2A3A1A4A5AnA1A4A3A2A5AnAp2A1A3A4A5AnAp2A1A3A4A5AnAp试一试解：如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝180°（4－2）＝360°∴∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）＝360°－180°＝180°例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ABCD如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.例2：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.求六边形的内角和.ABCDEF123456解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和.即外角和等于6×180°－（6－2）×180°＝2×180°＝360°课时思考11.3多边形及其内角和3.如果将例2中的六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意正整数），可以得到同样的结果吗？你能得出什么结论？任何多边形的外角和都等于360°.4、（抢答）八边形的内角和等于多少度？十边形呢？（8－2)×180°=1080°(10－2)×180°=1440°随堂练习5.求下列图形中x的值：01400x0x(1)0x0150012002X(2)0x0120080075(3)C0x0135ABDE0150060(4)AB∥CD做一做65609575课后思考11.3多边形及其内角和6.已知一个多边形每个内角都等于108°，求这个多边形的边数？解法1：设这个多边形的边数为n.180°（n－2）＝108°n解得n＝5解法2：设这个多边形的边数为n.（180°－108°）n＝360°解得n＝5答：这个多边形的边数为5.课后思考11.3多边形及其内角和7.如图：AD⊥AB，BC⊥CD，则∠B与∠D是什么关系？为什么？CABD答：∠B＋∠D＝180°证明：∵AD⊥AB，BC⊥CD∴∠A＝∠C＝90°∴∠A＋∠C＝90°＋90°＝180°∴∠B＋∠D＝180°8.在下面每个多边形中，从一个顶点出发，画出它所有的对角线，观察图形找规律填表：课后思考11.3多边形及其内角和多边形可作对角线的条数四边形五边形六边形n边形······123n－311.3多边形及其内角和拓广探索9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系.（1）从顶点A出发做对角线，可以作出条.分别是.从顶点B出发做对角线，可以作出条.分别是.同理：分别从C、D、E出发均可作出条对角线.ABCDE2AC、AD2BD、BE211.3多边形及其内角和拓广探索9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系.（2）分析：五边形有个顶点，从每个顶点出发都可以作出条对角线，按这样计算，五边形的对角线共有条；不难发现，对每一条对角线都重复算了两次，事实上，五边形总共只有条对角线，因此，五边形的对角线应表示为.（只用算式表示）5（5－3）5（5－3）51/2×5（5－3）拓广探索11.3多边形及其内角和9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系.（3）猜想：六边形的对角线总共有条（只用算式表示）；n边形对角线总共有条.（4）应用：十边形的对角线共有条.1/2×6（6－3）1/2×n（n－3）35