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1.1基本计数原理问题1.某旅游团从南京到上海，可以乘汽车，也可以乘火车，假定汽车每日有3班,火车每日有2班,那么一天中从南京到上海共有多少种不同的走法?上海宁波上海5=3+2分类加法计数原理幻灯片4做一件事，完成它有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。做一件事,完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。N=m1×m2×…×mn分步乘法计数原理幻灯片5问题2.后来该旅游团改变行程，增加杭州两日游，先乘汽车从南京至杭州，两天后再乘汽车从杭州至上海，假定南京至杭州的汽车每天有３班，杭州至上海的汽车每天有２班，那么该团从南京经杭州到上海有多少种不同的方法？上海宁波杭州=3×2幻灯片36两个基本计数原理理的联系和区别：完成一件事，共有n类办法，方式是“分类”完成一件事，共分n个步骤，方式是“分步”各类办法相互独立；各类办法中的任何一种方法都能独立地完成这件事。各步骤相互依存，缺一不可；只有把各个步骤全部完成，才能完成这件事（每个步骤中的任何一种方法都不能独立地完成这件事）。都是研究完成一件事的不同方法种数的计数方法合作探究一：一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中间放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书:（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有三类办法：第一类办法从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二类办法从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三类办法从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。只要从书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理，可得不同的取法共有N=5+3+2=10（种）。（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分三个步骤完成：第一步从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二步从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三步从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有N=5×3×2=30（种）。所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有30种不同的取法。探究成果:1.应用两个基本计数原理解题时，要明确是“分类”？还是“分步”？“分类”完成用加法计数原理;“分步”完成用乘法计数原理；2.注意解题步骤的规范。解：（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120（个）合作探究二：用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？幻灯片9（3）四位奇数？幻灯片10探究成果（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法；第二步从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；第三步从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种不同的选取方法；第四步从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）幻灯片8(3）解法一：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法：第一类办法四位奇数的个位数字为1，这件事分三个步骤完成：第一步从2，3，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第二步从2，3，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；第三步从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，第一类的四位奇数共有N1=3×3×2=18（个）第二类办法四位奇数的个位数字为3，这件事分三个步骤完成：第一步从1，2，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第二步从1，2，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；第三步从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，第二类的四位奇数共有N2=3×3×2=18（个）最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位奇数共有N=N1+N2=18+18=36（个）(3)解法二：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：第一步确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字,有2种不同的选取方法；第二步确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第三步确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；第四步确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有N=2×3×3×2=36（个）.幻灯片8探究成果2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。3.对于同一个事件的处理，可以采用不同的解法，但结果肯定是相同的，用这种方法可以起到很好的检验效果。1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎样就能“完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步，按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的基本方法。变式练习：用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？解：完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，有两类办法：第一类办法四位偶数的个位数字为0，这件事分三个步骤完成：第一步从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法；第二步从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；第三步从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有N1=4×3×2=24（个）升华提高：很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决，此时可根据需要先分类再分步，或者先分步再分类。第二类办法四位偶数的个位数字为2或4，这件事分四个步骤完成：第一步从2，4中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法；第二步从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第三步从1，2，3，4剩余的两个数字与0共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；第四步从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，第二类的四位偶数共有N2=2×3×3×2=36（个）最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位偶数共有N=N1+N2=24+36=60（个）合作探究三：我们把一元硬币有国徽的一面叫正面，有币值的一面叫反面。现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”。问一共可以得到多少个不同的这样的序列？解：分5个步骤完成这件事，每个步骤都有“正”或“反”两种不同的情况，有分步乘法计数原理，得N=2×2×2×2×2=25=32.所以一共可以得到32个不同的序列。探究成果:应用两个计数原理解题时，要注意判断是否重复。当堂检测：1.一个科技小组中有3名女同学，5名男同学。从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法____种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_____种。8153.3位旅客到4个旅馆住宿，有种不同的住宿方法。幻灯片192.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地经过乙地或丁地到丙地共有种不同的走法。幻灯片181464课堂总结甲地乙地丙地丁地解:如图所示，从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以m1=2×3=6种不同的走法;第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以m2=4×2=8种不同的走法;所以从甲地到丙地共有N=6+8=14种不同的走法。幻灯片162.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地经过乙地或丁地到丙地共有种不同的走法。解：分3个步骤完成这件事，每位乘客都有4种不同的住宿方法，由分步乘法计数原理，得N=4×4×4=64（种）.幻灯片163.3位旅客到4个旅馆住宿，有种不同的住宿方法。2.其次分类要不重不漏，分步要步骤完整。两个基本计数原理：1.分类加法计数原理：N=m1+m2+…+mn；2.分步乘法计数原理：N=m1×m2×…×mn。应用两个基本计数原理解题时应注意的问题：1.首先必须明确怎样就“完成这件事”？课堂总结3.还须注意特殊元素（或特殊位置）优先安排以及是否重复等。