初中数学圆心角和圆周角

圆心角和圆周角及之间的关系内容（课题）:圆心角和圆周角及之间的关系教学目的：1、了解圆周角的概念。2、理解圆周角定理的证明。3、通过圆周角定理的证明，培养学生对数学的逻辑严密性的体验，树立正确的数学学习观。4、培养学生的合作交流意识和数学交流能力。重难点（考点）分析：要注意分类讨论和有关圆的问题的多解性，同时结合阅读理解，条件开放，结论开放的探索题型，圆周角的概念和圆周角定理的证明，理解圆周角定理的证明中的分类证明思想。教学过程：一、圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。注意圆周角定义的两个基本特征：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。圆心角：顶点在圆心的角。利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．二、看一看ABCO有没有圆周角？∠BAC有没有圆心角？∠BOC它们有什么共同的特点？它们都对着同一条弧BC三、猜想归纳：请画出弧BC所对的圆周角.若按圆心O与这个圆周角的位置关系来分类,我们可以分成几类？圆周角的度数与什么有关系？动手量一量∠BOC与∠BAC有何数量关系？ABCOABCO四、证明圆心角与圆周角之间的关系1、首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(AB)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.∵∠BOC是△ACO的外角∴∠BOC=∠C+∠A∵OA=OC，∴∠A=∠C∴∠BOC=2∠A即∠BAC=1/2∠BOC2、如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?思考：能否转化成1中的情况？证明：过点A作直径AD.由1可得:∵∠BAD=1/2∠BOD,∠CAD=1/2∠COD∴∠BAC=1/2∠BOC.3、当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?思考：同样是否能转化成1中的情况？过点B作直径AD.由1可得:∵∠BAD=1/2∠BOD,∠CAD=1/2∠COD∴∠BAC=1/2∠BOC.综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即∠BAC=1/2∠BOC知识点总结：圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。（2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。（3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。（4）．圆的内接四边形对角之和是180度。（5）．弧的度数就是圆心角的度数。练习题：（一）选择、填空题：1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）A．相等B．互补C．相等或互补D．都不对3．下列说法正确的是（）A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4．下列说法错误的是（）A．等弧所对圆周角相等B．同弧所对圆周角相等C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．D．同圆中，等弦所对的圆周角相等5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD=．6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON=．7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．（A）30°（B）150°（C）30°或150°（D）)60°8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则的度数为（）（A）60°（B）80°（C）100°（D）)120°9.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有()个．（A）3（B）4（C）5（D）610.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（）（A）70°（B）65°（C）60°（D）)50°二、填空题：1.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.CBAODCBAOEDCBAO(1)(2)(3)2.如图5,AB是⊙O的直径,BCBD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.3.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB=30°,则点O到CD的距离OE=______.三、解答题：1．如图，已知AB是O的直径，AC是弦，过点O作ODAC于D，连结BC．（1）求证：12ODBC；（2）若40BAC∠，求ABC的度数．2.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.ABCDO（图1）30DCBAO3.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长.DCBAO四、能力提升：如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：________教学总结：