高一数学北师大版必修13.2指数扩充及其运算性质

第三章指数函数和对数函数指数扩充及其运算性质§2学习方法指导方法警示探究思路方法技巧课堂巩固训练探索延拓创新课后强化作业知能自主梳理知能目标解读1．在理解有理数指数幂的含义的基础上，通过具体实例了解实数指数幂的意义．2．掌握根式的概念，掌握分数指数幂与根式的互化．3．掌握幂的运算性质，感受数学推理的严谨性与合理性．重点难点点拨重点：有理指数幂的概念及运算法则．难点：根式概念与分数指数幂的概念理解，实数指数幂的意义．学习方法指导本节公式多，但应注意其联系，同时要在理解的基础上认识并掌握基本概念．一、分数指数幂1．概念：给定正实数a，对于任意给定的正整数m，n，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的mn次幂，记作b＝amn.它就是分数指数幂．a为正数，m，n为正整数，那么a－mn＝1amn.2．运算性质设a0，b0，对任意有理数α、β，有理数指数幂有如下三条运算性质：aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα.注意：理解amn与a－mn的意义，注意a0.指数的概念在引入了零指数、负整数指数、分数指数以后，指数的概念就实现了由整数到有理数的扩充，扩充后同底数的有理次幂的乘法、除法、开方都可以化为指数的运算，为化简根式带来了很大的方便．二、分数指数幂与根式的互化1．正分数指数幂amn(a0，m、n∈N＋，n1)也可写成根式形式nam，它们的含义是一样的．2．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿：a－mn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N＋，且n1)．注意：1.当a∈R时，(1)正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正、负平方根分别表示为na，－na(n为偶数)；(2)负数的偶次方根没有意义；(3)正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为na(n为奇数)；(4)正数a的正n次方根叫作a的n次算术根；(5)根式具有的性质：①(na)n＝a(n1，且n∈N＋)；②nan＝a当n为奇数，|a|当n为偶数.2．根式的化简，常先把根式转化为分数指数，运用指数的运算性质化简后，再转化为根式．三、实数指数幂及其运算性质1．概念：当a0，p为无理数时，ap的值可以用两个指数为p的不足近似值与过剩近似值构成的有理数幂序列无限逼近而得到，因此，ap是一个确定的实数，而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适用，这样，指数概念就扩充到了整个实数范围．2．运算性质：a0，b0，α，β∈R，则①aαaβ＝aα＋β；②(aα)β＝aαβ；③(ab)α＝aαbα.注意：灵活运用性质解题．对于运算性质，不仅要会正用，还要会逆用，要根据具体问题加以灵活运用．由①式可推出aαa－β＝aα－β，由③式也可以推出aba＝aaba，这两个等式也可以作为运算性质使用．知能自主梳理1．分数指数幂(1)给定正实数a，对于任意给定的整数m，n，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作________，记作________．它就是分数指数幂．(2)整数指数幂与分数指数幂的联系与区别一般地，当a0，α为任意实数值时，实数指数幂aα都有意义．2．n次方根的性质3．实数指数幂的运算法则a0，b0，m，n∈R，则(1)am·an＝________；(2)(am)n＝________；(3)(ab)n＝________.[答案]1.(1)a的mn次幂b＝amn(2)an1(a≠0)a(a∈R，n1且n∈N＋)求a的n次方根nanam1nam2．两个相反数na－na正数nan0＝0负数na3．(1)am＋n(2)amn(3)anbn思路方法技巧整数指数幂的运算[例1]化简a2＋b2－a－2－b－2a2b2－a－2b－2＋a－a－1b－b－1ab＋a－1b－1.[分析]化简这类式子，一般有两种方法．一是首先用负指数幂的定义把负指数化为正整数指数；二是运用整数指数幂的性质把负指数化为正整数指数．[解析]解法一：原式＝a2b2a2＋b2－a－2－b－2a2b2a2b2－a－2b－2＋aba－a－1b－b－1abab＋a－1b－1＝a4b2＋a2b4－b2－a2a4b4－1＋a2－1b2－1a2b2＋1＝a2b2a2＋b2－a2＋b2a4b4－1＋a2b2－a2－b2＋1a2b2＋1＝a2＋b2a2b2－1a2b2＋1a2b2－1＋a2b2－a2－b2＋1a2b2＋1＝a2b2＋1a2b2＋1＝1.解法二：原式＝a2＋b2－1a2－1b2a2b2－1a2b2＋a－1ab－1bab＋1ab＝a4b2＋a2b4－b2－a2a4b4－1＋a2－1b2－1a2b2＋1.(以下同解法一)[方法总结]对于这类问题，如果采用解法二把负指数化为正指数的方法，则式子将变为繁分式，这样化简起来比较复杂．所以一般运用分式的基本性质的方法把负指数化为正指数，即解法一，用这种解法相对简单一些．化简下列各式．(1)2－2×30×42；(2)(ab)－1·(ab)3；(3)a－3·b－2·－3a2b－19a－2b－3[解析](1)2－2×30×42＝122×1×16＝4.(2)(ab)－1·(ab)3＝a－1·b－1·(a·b－1)3＝1a×1b×a3×1b3＝a2b4＝a2b－4.(3)原式＝－3·a－3＋2b－2－19·a－2b－3＝－13a－1＋2b－3＋3＝－13a.分数指数幂的运算[例2]求下列各式的值[解析][方法总结]本例是利用分数指数幂的运算性质进行运算，思路是利用分数指数幂的运算性质进行化简，直至计算出最简结果．这要求同学们一定在记准、记熟运算性质的基础上，结合问题灵活地进行运用．[解析]根式的化简与求值[例3]化简下列各式的值：(1)5－25；(2)43－π4；(3)3a3；(4)4x－44.[分析]解答本题可根据nan＝an为大于1的奇数|a|n为大于1的偶数化简．[解析](1)5－25＝－2.(2)∵3－π0，∴43－π4＝π－3.(3)3a3＝a.(4)4x－44＝|x－4|＝x－4x≥44－xx4.[方法总结]准确认识根式记号na(1)n∈N，且n1.(2)当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义，它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根(na)n＝a.(3)当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时有意义，当a0时无意义，na(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－na，(±na)n＝a.(4)式子nan对任意a∈R都有意义(n1，n∈N)．计算：3xy2xy－1·xy·(xy)－1.[解析]探索延拓创新[分析]从已知条件中解出a值代入后进行求值，显然很繁琐，我们设法利用整体之间联系去求解．[方法总结](1)在该类求值化简中，要注意式子的整体变形，整体代换是数学重要的思想方法．同时对平方差，完全平方，立方和，立方差，和立方等公式要熟练使用，起到化繁为简、化难为易的效果．(2)本题也可将a12作变元，设a12＝t，首先用t表示因式然后再化简关于t的因式．(1)已知a2n＝2＋1，求a3n＋a－3nan＋a－n的值；(2)若a12＋a－12＝x12(a0)，求x－2＋x2－4xx－2－x2－4x的值．[解析](1)a3n＋a－3nan＋a－n＝an＋a－na2n－1＋a－2nan＋a－n＝a2n－1＋a－2n.∵a2n＝2＋1，∴a－2n＝2－1.∴原式＝2＋1－1＋2－1＝22－1.(2)原式＝x－2＋x2－4xx－2＋x2－4xx－2－x2－4xx－2＋x2－4x＝x－22＋2x－2x2－4x＋x2－4x2x－22－x2－4x2＝2x2－4x＋2x－2x2－4x＋44＝x2－4x＋x－2x2－4x＋22.又∵x12＝a12＋a－12，∴x＝a＋1a＋2.∴x2－4x＝x(x－4)＝a＋1a＋2a＋1a－2＝a－1a2.∴原式＝a－1a2＋a＋1aa－1a＋22＝a2a≥1，a－20a1.已知x－82－x－102＝2x－18成立，求x的取值范围．[误解]∵x－82＝x－8，x－102＝x－10，∴原方程可转化为(x－8)－(x－10)＝2x－18.解得x＝10.∴所求x的取值范围为x＝10.名师辨误做答[解析]产生错误的原因是对根式(指数幂)的意义理解不够.a2＝a只有在a≥0时才成立．a2＝|a|＝aa≥0，－aa0.[正解]当x≥10时，x－80，x－10≥0，此时x－82＝x－8，x－102＝x－10，∴原方程可化为(x－8)－(x－10)＝2x－18，解得x＝10，符合题意．当8≤x10时，x－8≥0，x－100，此时x－82＝x－8，x－102＝10－x，∴原方程可化为(x－8)－(10－x)＝2x－18，该方程对任意实数x都成立．当x8时，x－80，x－100，此时x－82＝8－x，x－102＝10－x，∴原方程可化为(8－x)－(10－x)＝2x－18，解得x＝8，不合题意．综上所述，所求x的取值范围为8≤x≤10.[方法总结]熟练掌握指数运算的性质及公式，是正确、迅速地化简、求值的条件．课堂巩固训练一、选择题1．下列命题中，正确命题的个数是()①nan＝a②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝0③3x4＋y3＝x43＋y④3－5＝6－52A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析]①中当a＜0，n为偶数时，nan≠a，故①错；③中3x4＋y3＝(x4＋y3)13≠x43＋y，故③错；④中3－5＜0，6－52＞0，故④错；②中a∈R，a2－a＋1＞0，∴(a2－a＋1)0＝1，故②错，故选A.2．(81625)－14的值是()A.35B.53C.325D.259[答案]B[解析](81625)－14＝(62581)14＝[(53)4]14＝53.3．如果x＞y＞0，那么xyyxyyxx＝()A．(x－y)yxB．(x－y)xyC．(xy)y－xD．(xy)－xy[答案]C[解析]∵x＞y＞0，∴xyyxyyxx＝xy－x·yx－y＝xy－xyy－x＝xyy－x，故选C.二、填空题4．把根式化为幂的形式：4a2b3＝__________.[答案]a12b34[解析]5.m－n2＝________.[答案]m－nm≥nn－mmn[解析]m－n2＝|m－n|＝m－nm≥nn－mmn.三、解答题6．已知[解析]课后强化作业（点此链接）