拉格朗日插值法

5.2拉格朗日（Lagrange）插值可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。5.2.1线性插值问题5.1给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值函数？过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。如图5.1所示。图5.1线性插值函数在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。下面先用待定系数法构造插值直线。设直线方程为，将分别代入直线方程得：当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。当时，若用两点式表示这条直线，则有：（5.1）这种形式称为拉格朗日插值多项式。，，称为插值基函数，计算，的值，易见（5.2）在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是平等的。拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。线性插值误差定理5.1记为以为插值点的插值函数，。这里，设一阶连续可导，在上存在，则对任意给定的，至少存在一点，使（5.3）证明令，因是的根，所以可设对任何一个固定的点，引进辅助函数：则。由定义可得，这样至少有3个零点，不失一般性，假定，分别在和上应用洛尔定理，可知在每个区间至少存在一个零点，不妨记为和，即和，对在上应用洛尔定理，得到在上至少有一个零点，。现在对求二次导数，其中的线性函数)，故有代入，得所以即5.2.2二次插值问题5.2给定三个插值点，,其中互不相等，怎样构造函数的二次的（抛物线）插值多项式？平面上的三个点能确定一条次曲线，如图5.2所示。图5.2三个插值点的二次插值仿造线性插值的拉格朗日插值，即用插值基函数的方法构造插值多项式。设每个基函数是一个二次函数，对来说，要求是它的零点，因此可设同理，也相对应的形式，得将代入，得同理将代入得到和的值，以及和的表达式。也容易验证：插值基函数仍然满足：二次插值函数误差：上式证明完全类似于线性插值误差的证明，故省略。插值作为函数逼近方法，常用来作函数的近似计算。当计算点落在插值点区间之内时叫做内插，否则叫做外插。内插的效果一般优于外插。例5.1给定。构造线性插值函数并用插值函数计算和解：构造线性插值函数：分别将代入上式，得，准确值，准确值例5.2给定。构造二次插值函数并计算。解：，准确值例5.3要制做三角函数的函数值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试决定其最大允许步长。解：设最大允许步长5.2.3次拉格朗日插值多项式问题5.3给定平面上两个互不相同的插值点，有且仅有一条通过这两点的直线；给定平面上三个互不相同的插值点，有且仅有一条通过这三个点的二次曲线；给定平面上个互不相同的插值点，互不相同是指互不相等，是否有且仅有一条不高于次的插值多项式曲线，如果曲线存在，那么如何简单地作出这条次插值多项式曲线？分析：次多项式，它完全由个系数决定。若曲线通过给定平面上个互不相同的插值点，则应满足，事实上一个插值点就是一个插值条件。将依次代入中得到线性方程组：（5.4）方程组的系数行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式：当互异时，，所以方程组（5.4）的解存在且惟一。即问题5.3的解存在而且惟一。通过求解（5.4）得到插值多项式，因其计算量太大而不可取，仿照线性以及二次插值多项式的拉格朗日形式，我们可构造次拉格朗日插值多项式。对于个互不相同的插值节点，由次插值多项式的惟一性，可对每个插值节点作出相应的次插值基函数。要求是，的零点，因此可设由将代入，得到（5.5）作其组合：（5.6）那么不高于次且满足，故就是关于插值点的插值多项式，这种插值形式称为拉格朗日插值多项式。称为关于节点的拉格朗日基函数。例5.4给出下列插值节点数据，做三次拉格朗日插值多项式，并计算（0.6）。-2.000.001.002.0017.001.002.0017.00解：拉格朗日插值基函数为：三次拉格朗日插值多项式：n次插值多项式的误差定理5.2设是上过的次插值多项式，互不相等，当时，则插值多项式的误差：其中(5.7)证明*：记。由于，因而是的根，于是可设下面的目标是算出，为此引入变量为的函数：（5.8）令，得令，由定义即至少有个零点，由于，由洛尔定理，在相邻的两个零点之间至少有一个零点，即至少有个零点。同理再对应用洛尔定理，即至少有个零点，反复应用洛尔定理得到至少有一个零点。另一方面，对求阶导数，有令，有得到（5.9）由于的零点与的零点有关，因而为的函数。若|可表示为（5.10）由（5.9）式可以看到，当是不高于次的多项式时，，即。对于函数，关于节点的拉格朗日插值多项式就是其本身，故拉格朗日基函数满足令，得到。定理5.2给出了当被插函数充分光滑时的插值误差或称插值余项表达式，但是，在实际计算中，并不知道的具体表示，难以得到的形式或较精确的界限，因此也难以得到界。在实际计算中，可对误差运用下面的事后估计方法。给出个插值节点，任选其中的个插值节点，不妨取，构造一个次插值多项式，记为。在个插值节点中另选个插值点，不妨取，构造一个次插值多项式，记为。由定理2可得到（5.11）（5.12）设在插值区间内连续而且变化不大，有，则从而可得到（5.13）（5.14）拉格朗日插值多项式的算法下面用伪码描述拉格朗日插值多项式的算法。1：输入：插值节点控制数，插值点序列，要计算的函数点，及变量。2：FORi：=0，1，…，n//i控制拉格朗日基函数序列{tmp：=1；2.1FORj：=0，1，…，i-1，i+1，…，n{//对于给定，计算拉格朗日基函数；}//tmp表示拉格朗日基函数2.2}3：输出的计算结果。