高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)

第一部分【几个著名定理】1．梅涅劳斯（Menelauss）定理设ABC的边AB，BC，CA或其延长线分别交于点RQP,,，且有奇数个点在边的延长线上（如图）则P，Q，R三点共线的充要条件是：1RACRQCBQPBAP。2.塞瓦定理：1:RBARQACQPCBPCRBQAPABCABCABCRQP三线共点的充要条件是、、则上，且有偶数个点在延长线边上的点，、、的分别是、、设QRPABCQRPABC3.托勒密定理：定理：四边形ABCD中，有：AB·CD+AD·BCAC·BD并当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等号成立。CBAD4.西姆松定理：P是ΔABC的外接圆⊙O上的任意一点，PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥CA，垂足为E、D、F，则E、D、F三点共线．西姆松的逆定理：从一点P向ABC的三边（或延长线）作垂线，若其垂足L，M，N在同一直线上，则点P在ABC的外接圆上。例1．以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与AB、AC交于点D和E，分别过D、E作BC的垂线，垂足依次为F、G，线段DG和EF交于点M，求证：AM⊥BC（IMO-37国家队选拔题）MABC证法一：设直线AM与BC交于H，连结BE，CD，则知∠BEC=∠BDC=090，直线FME与△ACH相截，直线GMD与△ABH相截，由梅氏定理得：1EACEFCHFMHAM，1DABDGBHGMHAM两式相除得DABDBGAECECFHGFH在Rt△DBC与Rt△EBC中，有FCBCCD2，BGBCBE2即22BECDBGCF，代入上式得ADBDCEAEBECDHGFH22又ABE∽ACD，有BECDAEAD代入上式得CEBDBECDHGFH=EBCDBCSS=MGDMEGDF，从而MH//DF，而DF⊥BC，则MH⊥BC，故AM⊥BCBCADEFGMH证法二：作高AH，连BE，CD，则∠BEC=∠BDC=090于是BBBCBBDDFsincossin，CCBCEGsincos所以CBABACCCBBMGDMEGDFcoscoscossincossin又CAEHGBABBHcos,cos所以CADBACCAEBABHGBHcoscoscoscos即ADABMGDMACABMGDMADACHGBH故1ABDAMDGMHGBH对△BDG应用梅氏定理逆定理，知H，M，A三点共线由AH⊥BC，故AM⊥BC例2.如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．ABCDEFMN证明：设∠BAE=∠CAF=，∠EAF=则)sin(21sin21ANADADAMSAMDN=)sin(cossin)cos([21AFAFAD=BCADRAFAFAD4)2sin(21sin21)sin(21AFACAFABSABC)(4BDACCDABRAF由托勒密定理可知：BCADBDACCDAB，故结论成立。例３.求证四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上已知：四条直线ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ中，ＡＢ交ＣＤ于点Ｅ，ＢＣ交ＡＤ于点Ｆ求证：ADE，ABF，BCE，CDF的外接圆相交于一点，且该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。CAEFDB在同一条直线上、、、故在一条直线上，、、在一条直线上，、、由西姆松定理可知，、、、、所作垂线的垂足分别为、、、向若点交于同一点、圆、圆、圆圆也过点同理圆过点，即圆的另一个交点为与圆圆，于点交，于点交中，、、、线证明：如图，设四条直PNMLPNMNMLPNMLEDACDBCABGGAEDABFCDFBCEGAEDGABFABGFCDABECCGFBGCBGFGCDFBCEFADBCECDABADCDBCAB180例4．若两个三角形的对应顶点的连线交于一点，则对应边所在的直线交点必共线。（笛沙格定理）已知：若△A1B1C1与△A2B2C2的对应顶点连线A1A2、B1B2、C1C2相交于一点O，则对应边B1C1与B2C2的交点K、C1A1与C2A2的交点L、A1B1与A2B2的交点M共线。K证明：观察三角形C1B1O，可以看出，K、B2、C2分别在C1B1、B1O、OC1或其延长线上，且B2、K、C2三点共线，根据梅涅劳斯定理可得：112222111CCOCOBBBKBKC同理：观察三角形OB1A1，根据梅涅劳斯定理可得：112222111AAOAOBBBLBLA观察三角形OA1C1，根据梅涅劳斯定理可得：112222111CCOCOAAAMAMC以上三式相乘得：1111111MCMALALBKBKC可以看到，在三角形B1A1C1中，L、K、M分别在A1B1、B1C1、C1A1或其延长线上，根据梅氏定理的逆定理，可判断L、K、M共线。第二部分【三角形五心研究】一些重要结论：一、外心：（1）O为三角形外心的充要条件：∠BOC＝2∠A，∠BOA＝2∠C，∠AOC＝2∠B（钝角三角形中为：∠BOC＝360°-2∠A，角A为钝角，如下右图）；或OA=OB=OC；DODOABCCBA（2）外心与顶点的连线与其中一边的夹角与该边所对的角互余（如上左图），即∠OBC+∠A＝90°二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心；重心将每条中线都分成定比2:1；中线长度公式AD=2221222ACABBC重心的性质：G为△ABC的重心，则GA2＋GB2＋GC2＝13（AB2＋BC2＋CA2）三、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心。由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利。性质：（1）∠BHC＝180º－∠A＝∠B＋∠C（2）H为垂心，则H，A，B，C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（称为一垂心组，且一垂心组的四个外接圆的圆心组成另一个垂心组，与原垂心组全等。）（3）设△ABC的三条高线为AD，BE，CF，其中D，E，F分别为垂足，H为垂心，则对于A，B，C，H，D，E，F有六组四点共圆，有三组相似三角形，且AH·HD＝BH·HE＝CH·HFHEFDABC（4）O是外心，H是垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABO=∠HBC（5）H关于三边的对称点在△ABC的外接圆上，关于三边中点的对称点在△ABC的外接圆上（6）三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍。（7）设△ABC的垂心为H，外接圆半径为R，则RCHCBHBAHA2|cos||cos||cos|B'H'HEFDOABC四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心（三角平分线的交点）。性质：（1）张角公式∠BIC＝90º＋12∠A；（2）设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).A'IABC（3）设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K，交△ABC的外接圆于点D，则AIADDIbcKIDIDKaDKOIABC（4）△DEF为切点三角形，则AD=AF=p-a，BD=BF=p-b，CE=CF=p-c五、旁心（1）∠BIAC＝90º－12∠A，∠BIBC＝∠BICC＝12∠A（2）设AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DIA＝DB＝DCIADIABC例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，故点M是△P′BP的外心，点N是△P′PC的外心。有∠BP′P=21∠BMP=21∠BAC，∠PP′C=21∠PNC=21∠BAC。∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.∴P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.由于P′P平分∠BP′C，显然还有P′B:P′C=BP:PC.ABCPPMN'例2．如图，设圆O是△ABC的内切圆，BC，CA，AB上的切点各是D，E，F，射线DO交EF于A’，同样可得B’，C’，试证：直线AA’，BB’，CC’共点。C'B'A'EDFOABC证明：连结A’B，A’C，易知B、D、O、F及C、D、O、E分别四点共圆。得：∠A’OF=∠B，∠A’OE=∠C由OFAFA'sin'='sin'OFAOA='sin'OEAOA=OEAEA'sin'由EAFA''=OEAOFA'sin'sin=CBsinsin=ABAC从而FAAB'=EAAC'，又∠AFE=∠AEF故S△ABA’=FAABAFE'sin21=EAACAEF'sin21=S△ACA’由此式可知直线AA’必平分BC边，即AA’必过△ABC的重心同理BB’，CC‘必过△ABC的重心，故结论成立。例3．设△ABC的三条高线为AD，BE，CF，自A，B，C分别作AKEF于K，BLDF于L，CNED于N，证明：直线AK，BL，CN相交于一点。NLKEFDABC证明：设△ABC的垂心为H，由AKEF，CFAB，知∠FAK=∠EFH，注意到A，F，H，E四点共圆，知∠FAK=∠EAH，知AO与AK重合。同理BO与BL重合，CO与CN重合，故AK，BL，CN三线共点于△ABC的外心O.ONLKEFDABC例4．如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分线AD交△ABC的外接圆于K，△ABC的外心，内心分别是O，I，求证：OIAK。ABCKIO证明：连结KO并延长交圆O于E，连结AE，则∠KAE=090，2OKEK因为I是△ABC的内心，由内心性质可知2ACABBCIKAK于是OI//AE，从而∠OIK=∠KAE=090，故OIAK例5．如图，设点M是△ABC的边BC的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的交点，求证：AE等于内切圆半径r。ABCMEIH证明：设点P为内切圆与边BC的切点，连IP，设BC=a，CA=b，AB=c，则MC=a21，PC=2-cba，HC=AC·cosC=acba2222由LMP∽EMH，有acbbcHCaPCMCHCMCPMHMIPEH2又AH·a=2ABCS=)(cbar即acbarAH再由acbrEH，及AE=AH-EH，有rEHrAHrAE=acba-acb=1故AE=r例6．设圆O是△ABC的BC边外侧的旁切圆，D，E，F分别是圆O与BC，CA，AB所在直线的切点，若OD与EF相交于K，求证：AK平分BC。KECBFOAD证明：过K作BC的平行线分别交AB，AC于N，M。连OE，OF，OM，ON由K，O，E，M四点共圆；O，K，F，N四点共圆，有∠OME=∠OKE=∠ONF，而OE=OF，且∠OEM=∠OFN=90°故RtOEM≌RtOFN，从而OM=ON在等腰OMN中，OK为底边MN上的高，从而NK=KM，即K为MN的中点，而BC//MN，故AK平分BCMNKECBFOAD例7．在ABC中，060A，ABAC，点O是外心，两条高BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，HF上，且满足BM=CN，求OHNHMH的值。33,330sin120sin30,120,,1201801202OHNHMHOHKHKMMHNHMHNHKMCHBKCNBMOHKHOHKHOKHOHKO