高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)

圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F、2F的距离之和等于定长a2（212FFa）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a2）大于这两个定点之间的距离21FF（记作c2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（ⅰ）当ca22时，点的轨迹是椭圆；（ⅱ）当ca22时，点的轨迹是线段21FF；（ⅲ）当ca22时，点的轨迹不存在。注2：若用M表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为aMFMF221（ca22，cFF221），即2121FFMFMF.注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：aMFMF221千万不可忘记。2.椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e（10e）的点的轨迹叫做椭圆。二、椭圆的标准方程（1）焦点在x轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222byax（0ba）；（2）焦点在y轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222bxay（0ba）.注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x轴还是在y轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x走，椭圆的焦点在x轴；长半轴跟y走，椭圆的焦点在y轴。（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222byax（0ba）或12222bxay（0ba）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x轴上还是y轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为122nymx（0m，0n，且nm）.三、椭圆的性质以标准方程12222byax（0ba）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：axa，byb；（2）对称性：关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为)0,(1aA，)0,(2aA；上下顶点分别为),0(1bB，),0(2bB；（4）长轴长为a2，短轴长为b2，焦距为c2；（5）长半轴a、短半轴b、半焦距c之间的关系为222cba；（6）准线方程：cax2；（7）焦准距：cb2；（8）离心率：ace且10e.e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁；（9）焦半径：若),(00yxP为椭圆12222byax在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，有01exaPF，02exaPF；（10）通径长：ab22.注1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点)0,(2cF和右准线l：cax2为例，可求得其焦准距为cbccacca2222.注2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最短的弦。设椭圆的方程为12222byax（0ba），过其焦点)0,(2cF且垂直于x轴的直线交该双曲线于A、B两点（不妨令点A在x轴的上方），则),(2abcA，),(2abcB，于是该椭圆的通径长为abababAB2222)(.四、关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题（1）关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指a、b、c的值或它们之间的关系，由这个关系结合222bac，我们可以确定出a、b、c的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到a、b、c的值。（2）椭圆的标准方程中的参数a、b、c是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关；a、b、c三者之间的关系：222bac必须牢固掌握。（3）求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a、b。根据题目已知条件，我们列出以a、b为未知参数的两个方程，联立后便可确定出a、b的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在x轴或y轴上，则以a、b为未知参数的方程组只有一个解，即a、b只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以a、b为未知参数的方程组应有两个解，即a、b应有两个值。（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为122nymx，但此时m、n必须满足条件：0m，0n，且nm.五、点与椭圆的位置关系点),(00yxP与椭圆12222byax（0ba）的位置关系有以下三种情形：（ⅰ）若1220220byax，则点),(00yxP在椭圆上；（ⅱ）若1220220byax，则点),(00yxP在椭圆外；（ⅲ）若1220220byax，则点),(00yxP在椭圆内；【例题选讲】题型1：椭圆定义的应用1.平面内存在一动点M到两个定点1F、2F的距离之和为常数a2（212FFa），则点M的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.线段D.椭圆或线段解：由题意知，21212FFaMFMF（ⅰ）当212FFa时，点M的轨迹是椭圆；（ⅱ）当212FFa时，点M的轨迹是线段21FF.故点M的轨迹是椭圆或线段2.已知圆C：36)1(22yx，点)0,1(A，M是圆C上任意一点，线段AM的中垂线l和直线CM相交于点Q，则点Q的轨迹方程为__________.解：圆C：36)1(22yx的圆心坐标为)0,1(C，半径6r连接QA，由l是直线AM的中垂线知，QAQM6rCMQCQMQCQA而2AC，ACQCQA于是点Q的轨迹是以)0,1(A，)0,1(C为左右焦点的椭圆，其中62a，22c3a，1c，819222cab又该椭圆的中心为坐标原点故点Q的轨迹方程为18922yx3.已知点)0,3(A，点Q是圆422yx上的一个动点，线段AQ的垂直平分线交圆的半径OQ于点P，当点Q在圆周上运动时，点P的轨迹方程为__________.解：圆O：422yx的圆心坐标为)0,0(O，半径2r连接PA，由l是直线AQ的垂直平分线知，PAPQ2rOQPQPOPAPO而3OA，OAPAPO于是点P的轨迹是以)0,0(O，)0,3(A为左右焦点的椭圆，其中22a，32c1a，23c，41431222cab又该椭圆的中心为OA的中点)23,0()23,0(OA故点P的轨迹方程为141)23(22yx注：本题点P的轨迹方程虽是椭圆，但该椭圆不关于坐标原点对称，而是关于点)0,23(对称，其方程可由把椭圆14122yx沿x轴向右平移了23个单位得到。4.方程2222222yxyxyx表示的曲线是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段解：由2222222yxyxyx，有1,02222)1()1(22yxyx这表明，点),(yxP到定点)1,1(F的距离与它到定直线l：02yx的距离之比等于常数22（1220）．由椭圆的第二定义知，点),(yxP的轨迹是椭圆，即方程2222222yxyxyx表示的曲线是椭圆。5.椭圆131222yx的左、右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上。若线段1PF的中点在y轴上，则1PF是2PF的（）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解：在椭圆131222yx中，9312,3,1222222bacba3,3,32cba于是)0,3(),0,3(21FF又线段1PF的中点在y轴上，而O是线段21FF的中点轴yPF2于是轴xPF2（法一）在12FPFRt中，2212221FFPFPF36944))((22212121cFFPFPFPFPF又由椭圆的定义，有34322221aPFPF①33343621PFPF②联立①、②得，237233341PF，23237342PF故72323721PFPF，即1PF是2PF的7倍。（法二）2332322abPF，而34322221aPFPF23723341PF故72323721PFPF，即1PF是2PF的7倍。6.设1F、2F为椭圆14922yx的两个焦点，P为椭圆上的一点。已知P，1F，2F是一个直角三角形的三个顶点，且21PFPF，则21PFPF=__________.解：在椭圆14922yx中，549,4,922222bacba5,2,3cba于是)0,5(1F，)0,5(2F（ⅰ）当9021PFF时，2054422212221cFFPFPF又632221aPFPF①8220362)()(222122121PFPFPFPFPFPF于是484364)()(21221221PFPFPFPFPFPF又21PFPF221PFPF②联立①、②得，42261PF，2462PF于是此时22421PFPF（ⅱ）当9012FPF时，2212221FFPFPF20544))((22212121cFFPFPFPFPF而632221aPFPF③31062021PFPF④联立③、④得，314628231061PF，3431462PF于是此时273431421PFPF故21PFPF的值为2或27题型2：求椭圆的方程7.（1）若方程13522kykx表示椭圆，则k的取值范围是__________；（2）若方程13522kykx表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是__________；（3）若方程13522kykx表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是__________.解：（1）方程13522kykx表示椭圆5443350305kkkkkk或故当)5,4()4,3(k时，方程13522kykx表示椭圆。（2）方程13522kykx表示焦点在x轴上的椭圆43350305kkkkk故当)4,3(k时，方程13522kykx表示焦点在x轴上的椭圆。（3）方程13522kykx表示焦点在y轴上的椭圆54530305kkkkk故当)5,4(k时，方程13522kykx表示焦点在y轴上的椭圆。8.已知椭圆1422myx的焦距为2，则m=__________.解：由题意知，22c1c于是1222cba（）（ⅰ）当椭圆1422myx的焦点在x轴上时，42a，mb2于是由（）式，有314mm（ⅱ）当椭圆1422myx的焦点在y轴上时，ma2，42b于是由（）式，有514mm故m的值为3或59.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且经过点)0,3(P，则该椭圆的方程为__________.解：由题设条件知，baba3232①（ⅰ）当椭圆的焦点在x轴上时，设其方程为12222byax（0ba）则由该椭圆过点)0,3(P，有10922ba②联立①、②得，92a，12b于是此时该椭圆的方程为1922yx（ⅱ）当该椭圆的焦点在y轴上时，设其方程为12222bxay（0ba）则由该椭圆过点)0,3(P，有19022ba③联立①、③得，92b，812a于是此时该椭圆的方程为198122xy故所求椭圆的方程为1922yx或198122xy10.已知椭圆的中心在坐标原点、以坐标轴为对称轴，且经过两点)1,6(1P，)2,3(2P，则椭圆