不等式的性质与一元二次不等式

1不等式的性质与一元二次不等式1、两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔aba－b＝0⇔a＝ba－b0⇔ab(a，b∈R)；(2)作商法ab1⇔abab＝1⇔a＝bab1⇔ab(a∈R，b0)．2、不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ab⇔ba⇔传递性ab，bc⇒ac⇒可加性ab⇔a＋cb＋c⇔可乘性错误!⇒acbc注意c的符号错误!⇒acbc同向可加性错误!⇒a＋cb＋d⇒同向同正可乘性错误!⇒acbd⇒可乘方性ab0⇒anbn(n∈N＋)可开方性ab0⇒nanb(n∈N＋)a，b同为正数3、不等式的一些常用性质(1)倒数的性质：①ab，ab0⇒1a1b；②a0b⇒1a1b；③ab0,0cd⇒acbd.；④0axb或axb0⇒1b1x1a(2)有关分数的性质：若ab0，m0，则，①bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)；②aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)4、“三个二次”的关系2判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠－b2a}{x|x∈R}ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}5、常用结论(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法不等式解集aba＝bab(x－a)·(x－b)0{x|xa或xb}{x|x≠a}{x|xb或xa}(x－a)·(x－b)0{x|axb}∅{x|bxa}口诀：大于取两边，小于取中间．选择题：设ab0，则下列不等式中不成立的是()A.1a1bB.1a－b1aC．|a|－bD.－a－b解析由题设得aa－b0，∴有1a－b1a成立，即1a－b1a不成立．若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则()3A．abcB．cbaC．cabD．bac解析易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log81641，∴ab；bc＝5ln44ln5＝log62510241，∴bc，即cba若a，b∈R，若a＋|b|0，则下列不等式中正确的是()A．a－b0B．a3＋b30C．a2－b20D．a＋b0解析由a＋|b|0知，a0，且|a||b|，当b≥0时，a＋b0成立，当b0时，a＋b0成立，∴a＋b0成立．下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()A．ab＋1B．ab－1C．a2b2D．a3b3解析由ab＋1，得ab＋1b，即ab，而由ab不能得出ab＋1，∴使ab成立的充分而不必要的条件是ab＋1.已知0a1b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M，N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不能确定解析∵0a1b，∴1＋a0,1＋b0,1－ab0，∴M－N＝1－a1＋a＋1－b1＋b＝2－2ab1＋a1＋b0已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．c≥baB．ac≥bC．cbaD．acb解析∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋340，∴ba，∴c≥ba.设a2，A＝a＋1＋a，B＝a＋2＋a－2，则A，B的大小关系是()A．ABB．ABC．A≥BD．A≤B解析A2＝2a＋1＋2a2＋a，B2＝2a＋a2－4，显然A2B2已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()4A．MNB．MNC．M＝ND．不确定解析M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－10，a2－10，∴(a1－1)(a2－1)0，即M－N0，∴MN.已知x∈R，m＝(x＋1)(x2＋x2＋1)，n＝(x＋12)(x2＋x＋1)，则m，n的大小关系为()A．m≥nB．mnC．m≤nD．mn解析m＝(x＋1)(x2＋x2＋1)＝(x＋1)(x2＋x－x2＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)，n＝(x＋12)(x2＋x＋1)＝(x＋1－12)(x2＋x＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－12(x2＋x＋1)，∴m－n＝(x＋1)(x2＋x2＋1)－(x＋12)(x2＋x＋1)＝12(x2＋x＋1)－12x(x＋1)＝120.则有x∈R时，mn恒成立已知a，b，c满足cba，且ac0，那么下列选项中一定成立的是()A．abacB．c(b－a)0C．cb2ab2D．ac(a－c)0解析由cba且ac0知c0且a0，由bc得abac一定成立．设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③解析由不等式性质及ab1知1a1b，又c0，∴cacb，①正确；构造函数y＝xc，∵c0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又ab1，∴acbc，知②正确；∵ab1，c0，∴a－cb－c1，∴logb(a－c)loga(a－c)loga(b－c)，知③正确．设a，b∈R，则“(a－b)·a20”是“ab”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由(a－b)·a20⇒a≠0且ab，∴充分性成立；5由ab⇒a－b0，当0＝ab时⇒/(a－b)·a20，必要性不成立．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，则2α－β3的取值范围是()A．(0，5π6)B．(－π6，5π6)C．(0，π)D．(－π6，π)解析由题设得02απ，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π62α－β3π.若集合A＝{x|3＋2x－x20}，集合B＝{x|2x2}，则A∩B等于()A．(1,3)B．(－∞，－1)C．(－1,1)D．(－3,1)解析依题意，可求得A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1)．已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，则(∁RP)∩Q等于()A．[2,3]B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C．(2,3]D．(－∞，－1]∪(3，＋∞)解析依题意，得P＝{x|－1≤x≤2}，Q＝{x|1x≤3}，则(∁RP)∩Q＝(2,3]已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13，则不等式x2－bx－a0的解集是()A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.13，12D.－∞，13∪12，＋∞解析由题意知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a0即为x2－5x＋60，解集为(2,3)若一元二次不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3,0]B．[－3,0)C．[－3,0]D．(－3,0)解析2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则必有2k0，Δ＝k2－4×2k×－380，解之得－3k0.设a为常数，任意x∈R，ax2＋ax＋10，则a的取值范围是()6A．(0,4)B．[0,4)C．(0，＋∞)D．(－∞，4)解析任意x∈R，ax2＋ax＋10，则必有a0，Δ＝a2－4a0或a＝0，∴0≤a4.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是()A．f(x)＝g(x)B．f(x)＞g(x)C．f(x)＜g(x)D．随x的值变化而变化解析f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0⇒f(x)＞g(x)．已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x＜0，则不等式f(x)＞3的解集为________解析由题意知x≥0，x2＋2x＞3或x＜0，－x2＋2x＞3，解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x0，则不等式f(x)f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)解析由题意得x≥0，x2－4x＋63或x0，x＋63，解得－3x1或x3.已知函数f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x0，则不等式f(x)≥x2的解集为()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,1]D．[－1,2]解析作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图像，如图，由图知f(x)≥x2的解集为[－1,1]．若集合A＝{x|ax2－ax＋10}＝，则实数a的取值范围是()A．{a|0a4}B．{a|0≤a4}C．{a|0a≤4}D．{a|0≤a≤4}7解析由题意知a＝0时，满足条件，a≠0时，由a0，Δ＝a2－4a≤0，得0a≤4，∴0≤a≤4已知不等式x2－2x－30的解集为A，不等式x2＋x－60的解集是B，不等式x2＋ax＋b0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3B．1C．－1D．3解析由题意，得A＝{x|－1x3}，B＝{x|－3x2}，A∩B＝{x|－1x2}，则不等式x2＋ax＋b0的解集为{x|－1x2}．由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为()A.－1－52B.1－52C.－1±52D.1±52解析若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则x2－2ax＋a＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝1±52，所以选D.若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．[－1,4]B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D．[－2,5]解析x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4填空题：设a0，且a≠1，P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，则P与Q的大小关系是_____解析由题意可知a1.∴(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)0，∴a3－1a2－1，∴loga(a3－1)loga(a2－1)，即PQ.设abc0，x＝a2＋b＋c2，y＝b2＋c＋a2，z＝c2＋a＋b2，则x，y，z的大小关系是________解析令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝18，y＝20，z＝26，故zyx.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________8解析由f－1＝a－b，f1＝a＋b，得a＝12[f－1＋f1]，b＝12[f1－f－1].∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.若关于x的不等式m(x－1