双曲线经典例题讲解

1第一部分双曲线相关知识点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（21212FFaPFPF（a为常数））新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：12222byax和12222bxay（a＞0，b＞0）.这里222acb，其中|1F2F|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外部：(1)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab.(2)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.四．双曲线的简单几何性质22ax－22by=1（a＞0，b＞0）⑴范围：|x|≥a，y∈R⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）⑷渐近线：①若双曲线方程为12222byax渐近线方程02222byaxxabyM2M1PK2K1A1A2F2F1oyx2②若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax③若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）④与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax)0(新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆⑤与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax六.弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则AB＝2121kxx，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则AB＝21211yyk。第二部分典型例题分析题型1：运用双曲线的定义例1.如图所示，F为双曲线1169:22yxC的左焦点，双曲线C上的点iP与3,2,17iPi关于y轴对称，则FPFPFPFPFPFP654321的值是（）A．9B．16C．18D．27[解析]FPFP61FPFP52643FPFP，选C练习：设P为双曲线11222yx上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．36B．12C．312D．24解析：2:3||:||,13,12,121PFPFcba由①又,22||||21aPFPF②由①、②解得.4||,6||21PFPF,52||,52||||2212221FFPFPF为21FPF直角三角形，.124621||||212121PFPFSFPF故选B。3题型2求双曲线的标准方程例2已知双曲线C与双曲线162x－42y=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．解：设双曲线方程为22ax－22by=1.由题意易求c=25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a－24b=1.又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y=1.练习：1已知双曲线的渐近线方程是2xy，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；解：设双曲线方程为224yx，当0时，化为1422yx，2010452，当0时，化为1422yy，2010452，综上，双曲线方程为221205xy或120522xy2.已知点(3,0)M，(3,0)N，(1,0)B，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为A．221(1)8yxxB．221(1)8yxxC．1822yx（x0）D．221(1)10yxx[解析]2BNBMPNPM，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B题型3与渐近线有关的问题例3.焦点为（0，6），且与双曲线1222yx有相同的渐近线的双曲线方程是4A．1241222yxB．1241222xyC．1122422xyD．1122422yx[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B练习：过点（1，3）且渐近线为xy21的双曲线方程是解：设所求双曲线为2214xyk点（1，3）代入：135944k.代入（1）：22223541443535xyxy即为所求.题型4弦中点问题——设而不求法例4.双曲线122yx的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）A.12xyB.22xyC.32xyD.32xy解:设弦的两端分别为1,12,2,AxyBxy.则有：222222111212121222121222101xyyyxxxxyyxxyyxy.∵弦中点为（2，1），∴121242xxyy.故直线的斜率121212122yyxxkxxyy.则所求直线方程为：12223yxyx，故选C.练习：1.在双曲线1222yx上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：22111212121222221112011212xyxxxxyyyyxy.∵M（1，1）为弦AB的中点，∴1212121212122022ABxxyyxxyykyyxx代入1：2，故存在符合条件的直线AB，其方程为：12121yxyx，即.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：5其一：将点M（1，1）代入方程1222yx，发现左式=1-1122＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率2ABk，而双曲线的渐近线为2yx.这里22，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由222221221224302221yxxxxxyx这里16240，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.结论；不存在符合题设条件的直线.2.已知双曲线1222yx,问过点A（1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。解：设符合题意的直线l存在，并设),(21xxP、),(22yxQ则)2(12)1(1222222121yxyx﹙1﹚)2(得))((2121xxxx)3())((212121yyyy因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以)5(2)4(22121yyxx将(4)、(5)代入（3）得)(212121yyxx若21xx，则直线l的斜率22121xxyyk，其方程为012yx121222yxxy得03422xx根据08,说明所求直线不存在。3.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=321的双曲线过点P(6，6)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(1)求双曲线方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆6新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)如图，设双曲线方程为2222byax=1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆由已知得321,16622222222abaeba,解得a2=9,b2=12新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆所以所求双曲线方程为12922yx=1新疆源头学子小屋特级教