人教版高数必修一第9讲：指数运算与指数函数(教师版)

1指数运算与指数函数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．2、掌握指数函数的概念、图像和性质。一、有理数指数幂及运算性质1、有理数指数幂的分类（1）正整数指数幂()nnaaaaanN个；（2）零指数幂)0(10aa；（3）负整数指数幂10,nnaanNa（4）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。2、有理数指数幂的性质（1）0,,mnmnaaaamnQ（2）0,,nmmnaaamnQ（3）0,0,mmmabababmQ二、根式1、根式的定义：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中Nnn,1，na叫做根式，n叫做根指数，a叫被开方数。2、对于根式记号na，要注意以下几点：（1）nN，且1n；（2）当n是奇数，则aann；当n是偶数，则00aaaaaann；（3）负数没有偶次方根；（4）零的任何次方根都是零。3、规定：（1）0,,,1mnmnaaamnNn；（2）110,,,1mnmnmnaamnNnaa三、对指数函数定义的理解2一般地，函数)10(aaayx且叫做指数函数。1、定义域是R。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在0a的前提下，x可以是任意实数。2、规定0a,且1a的理由：（1）若0a，000xxxaxa当时，恒等于；当时，无意义。（2）若0a，如(2)xy，当14x、12等时，在实数范围内函数值不存在。（3）若1a，11xy，是一个常量，没有研究的必要性。为了避免上述各种情况，所以规定0a,且1a。3、式上的严格性：指数函数的定义表达式xya中，xa前的系数必须是1。自变量x在指数的位置上。比如12,1,xxxyayaya等，都不是指数函数；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如xya(01)aa且，因为它可以化为1xya，其中10a，且11a。四、指数函数的图象和性质：1a01a图象性质定义域：R值域：0,图像都过点0,1在R上是增函数在R上是减函数特别提醒：角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：在y轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在y轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变大。即不论在y轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。五、比较幂值得大小底数相同：利用函数的单调性进行比较；指数相同：方法一：可转化为底数相同进行比较；方法二：可借助函数图像进行比较。指数函数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按逆时针方向由小变大。指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。六、指数方程的可解类型，可分为：形如0,1fxgxaaaa的方程，化为fxgx求解。形如20xxabac的方程，可令xta进行换元，转化成200tbtct一元二次方程进行求解。七、指数不等式的解法：当1a时，fxgxaa与fxgx同解，当01a时，fxgxaa与fxgx同解。3类型一根式与分数指数幂的互化例1：(1)用根式表示下列各式：a15；a；23a；(2)用分数指数幂表示下列各式：3a5；3a6；13a2.解析：(1)a15＝5a；a34＝4a3；a－23＝13a2.(2)3a5＝a53；3a6＝a63＝a2；13a2＝1a23＝a－23.答案：见解析练习1：把根式化为分数指数幂的形式：4a2b3＝__________.答案：ab练习2：用根式表示下列各式：x35；x－13答案：x＝5x3.x－13＝13x.类型二根式与分数指数幂的混合运算例2：计算：232(0)aaaa解析：原式＝125222236133222aaaaaaaa答案：38练习1：化简：1.513×－760＋80.25×42＋(32×3)6－－3223；答案：110练习2：(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)化简23＋333＝()A．－2πB．6C．2πD．－6答案：D类型三指数函数的定义例3：下列函数中，哪些是指数函数？4①y＝10x；②y＝10x＋1；③y＝10x＋1；④y＝2·10x；⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a－10，且a≠－9)；⑦y＝x10.解析：①y＝10x符合定义，是指数函数；②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1这两个函数相加得到的复合函数；④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；⑥由于10＋a0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a－10，且a≠－9)是指数函数；⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．综上可知，①、⑥是指数函数．答案:①、⑥练习1：若函数y＝(a－3)·(2a－1)x是指数函数，求a的值．答案:4练习2：(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a0且a≠1答案：C类型四指数函数的图象和性质例4：函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0解析：由图象呈下降趋势可知0a1，又由图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知a－b1，即－b0，∴b0.答案：D练习1：若函数y＝ax＋m－1(a0)的图象经过第一、三和第四象限，则()A．a1B．a1，且m0C．0a1，且m0D．0a1答案：B练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝12x的图象之间的关系是()A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称5答案:C类型五指数函数性质的应用例5:比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；解析：(1)考察指数函数y＝1.7x，由于底数1.71，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.53，∴1.72.51.73.(2)考察函数y＝0.8x，由于00.81，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1－0.2，∴0.8－0.10.8－0.2.(3)由指数函数的性质得1．70.31.70＝1，0.93.10.90＝1，∴1.70.30.93.1.答案：练习1:比较下列各题中两个值的大小．(1)0.3x与0.3x＋1；(2)12－2与2.答案：练习2:(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)函数f(x)＝ax－1＋2(a0，a≠1)恒过定点________．答案：(1,3)类型六指数函数性质的综合应用例6:函数f(x)＝x2－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比较f(bx)与f(cx)的大小．解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)＝x2－bx＋c的对称轴为x＝1.即b2＝1⇒b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．若x≥0，则3x≥2x≥1，而f(x)＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上为增函数，∴f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)，若x0，则03x2x1，而f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，∴f(3x)f(2x)，即f(cx)f(bx)，综上所述，f(cx)≥f(bx)．答案：f(cx)≥f(bx)．练习1:(2015·陕西文，4改编)设1-0()20xxxfxx，则f[f(－2)]＝________.6答案：12练习2:设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f(13)、f(32)、f(23)的大小关系为__________．答案：f(23)＜f(32)＜f(13)1、把下列各式中的a写成分数指数幂的形式（1）5256a；（2）428a；答案：（1）15256a；（2）1428a2、计算（1）329；（2）3216答案：（1）333223222933327；（2）33231221164464643、求下列各式的值（1）332；（2）442；答案：（1）3322；（2）44224、用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）2aa（2）332aa答案：（1）115222222aaaaaa；（2）221133323333aaaaaa5、若函数223xyaa是一个指数函数，求实数a的取值范围。答案：,1515,13,1515,6、函数323xy恒过定点____________。答案：3,4__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________7基础巩固1．(2014～2015学年度河北刑台二中高一上学期月考)下列命题中正确命题的个数为()①nan＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③3x4＋y3＝x43＋y；④3－5＝26(5).A．0B．1C．2D．3答案：B2．(2014～2015学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)设a0，将a2a·3a2写成分数指数幂，其结果是()A．32aB．12aC．56aD．76a答案：D3．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)计算：2－12＋22＋12－1－－50＝____.答案：224．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若a14，则化简2441a的结果是()A．1－4aB．4a－1C．－1－4aD．－4a－1答案：A5．(2014～2015学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试)函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝()A．12B．2C．4D．14答案:B能力提升86．(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数y＝ax＋1＋1(a0且a≠1)的图象必经过定点________．答案：(－1,2)7．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝2x－3，则当x0时，f(x)＝________.答案：3－2－x8.(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设函数f(x)＝kax－a－x(a0且a≠1)是奇函数．(1)求常数k的值；(2)若a1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明．答案：(1)函数f(x)的定义域为R.又