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2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1长江水质的评价和预测摘要本文主要针对长江干流各监测点的污染程度定量分析，基于过去十年的水质报告资，应用不同的理论建立不同的模型，为环保机构制订长江治污措施提供决策依据。针对问题一：考虑到污染物浓度这一评价指标的“质的差异”和“量的差异”，采用动态加权综合评价方法建立评价模型。首先对评价指标数据进行归一化处理，选取偏大型正态分布函数作为动态加权函数建立评价模型，对评价指标每天的观测值进行排序，然后用决策分析中的Borda数方法对17个点位的水质综合排序。分析得出结果为：水质最差的是观测城市江西南昌滁槎，最好的城市是湖北丹江口胡家岭；干流水质最差的是湖南岳阳城陵矶，干流水质最好的区段是江西九江河西水厂。针对问题二：根据长江的降解系数，可得到污染物随时间的变化量。由于污染源的污染物排放量等于本地区污染物的流量与上游流下的污染物流量之差。因此，建立污染物流量随时间变化的微分方程模型。最后求得：高锰酸钾指数和氨氮的污染源主要集中在宜昌至岳阳之间。针对问题三：根据已知的过去10年的主要统计数据，建立了灰色预测模型。同时，利用已知值对模型进行检验，在相对误差较小的情况下对未来10年的水质情况作出了预测，分析得出结论：未来10年可饮用水所占的比例越来越低，排污量有明显的上升趋势。针对问题四：通过建立废水排放量与各类水百分比之间的二元线性回归模型，对未来十年的废水排放量进行预测，并确定其与各类水所占百分比之间的函数关系式。在满足问题要求的前提下，可得到废水允许的最大排放量为：210.92亿吨。结合问题三的预测数据，可得到未来十年需要处理的污水数量（见表6）针对问题五：分析总结前几个问题的结果，找出水质污染的根本原因。结合考察团的调查结果，给出合理的建议和意见。最后，对模型中运用的方法进行了优、缺点评价，在模型的推广中提出了可以建立类似模型解决生活中的一类问题。关键词：动态加权；微分方程；灰色预测理论；线性回归2一、问题重述1.1问题背景长江是我国第一、世界第三大河流，其水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”[1]。长江水是许多人赖以生存和发展的资源，保护水资源就是保护我们自己，就长江近年来的水质情况，采取合理的保护和治理措施刻不容缓。1.2问题提出为了制定出合理的治理长江水质污染的方案，根据长江地区近两年多主要水质指标的检测数据，现讨论以下几个问题：(1)对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。(2)研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源的主要分布地区。(3)假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析。(4)根据预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？(5)发表对解决长江水质污染问题切实可行的建议和意见。二、问题分析问题需要对长江水质作出评价和预测，根据附件中已知的数据，建立相应的评价预测模型，分析得出长江水质过去十年以及未来十年的污染状况。2.1问题一的分析问题一需要对水质情况做出综合评价，由附表可知，水环境质量标准分为六个等级。每一等级对每一项指标都有相应的标准值，且同一等级的水在污染物的含量上也有差别。这种既有“质的差异”又有“量的差异”的问题可采用动态加权评价方法建立评价模型，并利用决策分析中的Borda函数方法[2]确定最终的排序方案。分析可得出各地区水质的污染状况。2.2问题二的分析因为污染物在时间和空间上是动态变化的，为简便起见，不考虑支流的因素，只从纵向的角度，结合本地与上游污水进行水质的污染分析。根据常识可知，污染物的污染源就是新增污染物较多的地方。因此，考虑到降解系数，求得污染物3随时间的变化量，通过流量之差判定污染源，即本地新增污染物的流量等于本地区现有的污染物减去上游到达该处的污染物的流量。建立污染物流量随时间变化的微分方程模型，最后通过新增污染物的流量大小关系得出主要的污染源地区。2.3问题三的分析问题三的实质是依照过去10年的主要统计数据，对未来10年水质污染的发展趋势作出预测分析。由于一些客观因素的影响，一些时期的数据异常，因此，在使用过程中，要舍弃异常数据。因为已知数据较少，且是对在一定范围内变化、与时间序列有关的未知过程进行预测，符合灰色预测理论[3]，因此，选用灰色预测模型对未来10年的水质情况进行预测。2.4问题四的分析为了达到题目中所要求的水质，可建立废水排放量与各类水百分比之间的二元线性回归模型，对未来十年的废水排放量进行预测，并确定其与各类水所占百分比之间的函数关系式。通过此关系式，可以计算在这种情况下长江所能承受的最大污水排放量，将这个排放量与预测的排放量进行比较，多出来的部分就是需要每年处理掉的。2.5问题五的分析通过对长江水质的评价和预测结果，可以分析总结出水质污染的根本原因。结合考察团的调查结果，给出合理的建议和意见。三、符号说明与模型假设3.1符号说明关键符号符号说明ix第i个评价指标iS第i个评价对象长江的降解系数污染源释放污染物的流量x长江允许的最大排污量x每年需要处理的污水量ijX第i个月j种评价指标的综合评价值3.2模型假设1.长江干流的自然净化能力是近似均衡不变的；2.不发生洪涝灾害时，长江的流量相对稳定；3.假设污染源在干流两侧均匀分布；4.考虑污染物顺水流入下游，污染物的扩散作用忽略；45.假设长江的水流速率的变化是一个近似的线性过程，且两点之间的中点的水流速率等于这两点水流速率的平均值。四、模型的建立与求解4.1基于动态加权方法的水质评价模型的建立与求解—问题14.1.1模型的分析问题一需要建立水质情况的综合评价模型，选取污染物浓度为评价指标。考虑到这一评价指标的“质的差异”和“量的差异”，采用动态加权综合评价方法建立评价模型。主要工作流程示意图如下：动态加权综合评价模型各城市水质的综合评价综合评价指标函数的确定动态加权函数的确定指标数据标准化处理图1.基于动态加权方法的评价模型的流程图4.1.2模型的建立1.指标数据的标准化处理因为评价指标有极大型、极小型、中间型三种情况，且有无量纲和有量纲两种类型，故需要对不同类型的水质指标变换成统一的、无量纲的标准化指标。(1)溶解氧（DO）的标准化由附表可知，溶解氧（DO）为偏大型指标，首先将数据指标作极小化处理，令其作倒数变换111xx，相应的分类区间变为：1111111111(0,],(,],(,],(,],(,],(,),7.57.566553322然后通过极差变换110.5xx将其数据标准化，对应的分类区间变为：(0,0.2667],(0.2667,0.3333],(0.3333,0.4],(0.4,0.6667],(0.6667,1],(1,),5(2)高锰酸盐指数（CODMn）的标准化高锰酸盐指数本身就是偏小型指标，由极差变换将其数据标准化，即令2215xx，对应的分类区间变为：(0,0.1333],(0.1333,0.2667],(0.2667,0.4],(0.4,0.6667],(0.6667,1],(1,),(3)氨氮（NH3-N）的标准化氨氮也是偏小型指标，对指标数据作极差变换将其标准化，即令332xx，对应的分类区间随之变为：(0,0.075],(0.075,0.25],(0.25,0.5],(0.5,0.75],(0.75,1],(1,),(4)PH值的标准化酸碱度（PH值）的大小反映出水质呈酸碱性的程度，通常的水生物都适应于中性水质，即酸碱度的平衡值（PH值略大于7），在这里取正常值的中值7.5，当7.5PH时水质偏碱性，当7.5PH时偏酸值，而偏离值越大水质就越坏，PH值属于中间型指标。因此，对所有的PH值指标数据作均值差处理，即令：4427.53xx用此方法对其数据标准化。2.动态加权函数的确定根据附表4个评价指标的标准限值，可得出各项指标不同等级之间的标准限值的趋势，见图2：图2.各指标不同级别的标准限值变化趋势图由图可以看出，评价指标ix对于综合评价效果的影响大约是随着类别(1,2,...,6)kpk的增加，先是缓慢增加，再有一个快速增长的过，随后平缓增加12345600.10.20.30.40.50.60.70.80.91评价指标的类别评价效果wx6趋于最大，图形呈正态分布曲线（左侧）形状。因此，指标ix的变权函数可以设定为偏大型正态分布函数[4]。即：2()0,()1,iiixiixwxex其中i取指标ix的I类水标准区间的中值，即()()111()2iiiba，i由()4()0.9(1,2,3)iiwai确定。3.综合评价指标函数的确定由于对实际评价效果影响差异较大的是前三项指标，以及指标PH值的特殊性。这里取前三项指标的综合影响权值为0.8，而PH值的影响权值取0.2.因此，某点位某一时间综合评价指标定义为：3410.8()0.2iiiiXwxxx(1)4.各城市水质的综合评价由17个观测点28个月的水质综合评价指标(1,2,...,17;1,2,...,28),ijXij根据其污染程度的大小进行排序，数值越大水质越差。由此可得反映17个城市水质污染程度的28个排序结果，利用决策分析中的Borda函数方法来确定综合排序方案。若在第j个排序方案中排在第i个被评价对象后的个数为()jiBS，则第i个观测点（被评价对象）iS的Borda数为：281()()(1,2,..,17)ijijBsBSi根据上式结果大小进行排序，便可得到17个被评价对象的总排序结果。4.1.3模型的求解求解步骤Step1运用极差变换，将各项指标数据标准化，化成可比较的[0,1]区间上的数值。Step2根据偏大型正态分布函数，确定四类指标的动态加权函数。Step3i从1开始到3，根据公式（1）可得到各个点位各个时间的综合评价指标。Ste