椭圆的几何性质讲义

8．1椭圆方程及性质一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a,b,c,e等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1．椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长212FFa的点的轨迹，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（212FFa时为线段21FF，212FFa无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|edPF，0＜e＜1的常数。（1e为抛物线；1e为双曲线）xyOFFPAAB11121222MMKK2．标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：12222byax（a＞b＞0）；焦点F1（－c，0），F2（c，0）。其中22bac（一个Rt）（2）焦点在y轴上，中心在原点：12222bxay（a＞b＞0）；焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中22bac（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上），这种形式用起来更方便。3．性质：对于椭圆：12222byax（a＞b＞0）如下性质必须熟练掌握：①范围;②对称轴,对称中心;③顶点;④焦点;⑤准线方程;⑥离心率;(参见课本)此外还有如下常用性质：⑦焦半径公式：|PF1|=左r=a+ex0，|PF2|=右r=a-ex0；(由第二定义推得)caPFcaPFminmax,⑧焦准距cbp2；准线间距ca22;通径长22ba;⑨最大角12122maxFPFFBF证:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则222221212121212221222124()24cos222211,,.()2rrcrrrrcPrrrrbbrrrra时取角最大对于椭圆：12222bxay（a＞b＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。4．椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,是椭圆本身所固有的,决定椭圆形状的参数,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关．5．对椭圆方程22221xyab作三角换元即得椭圆的参数方程：sincosbyax；注意θ不是∠xOP(x,y)．6．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：设椭圆：12222byax上弦AB的中点为M(x0,y0),则斜率kAB=2020bxay,对椭圆：12222bxay,则kAB=2020axby．三、双基题目练练手1．（2006全国Ⅱ）已知△ABC的顶点B、C在椭圆2213xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．122．(2005广东)若焦点在x轴上的椭圆1222myx的离心率为21，则m=（）A．3B．23C．38D．323．(2006山东)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为()A．2B．22C．12D．244．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为()A．3－1B．2－3C．22D．235．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为__________________．6．(2006四川15)如图把椭圆2212516xy的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1P,2P,……7P七个点，F是椭圆的一个焦点，则127......PFPFPF____________．FBAP7P6P5P4P3P2P1oyx简答提示：1-4．CBBA；4．易知圆F2的半径为c，（2a－c）2+c2=4c2，（ac）2+2（ac）－2=0，ac=3－1．5．122x+92y=1或92x+122y=1；6．根据椭圆的对称性知，11711112||||||||2PFPFPFPFa，同理其余两对的和也是2a，又41||PFa，∴1234567PFPFPFPFPFPFPF7a=35四、经典例题做一做【例1】若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为22，且OA⊥OB，求椭圆的方程．分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为22．OA⊥OB，易得a、b的两个方程．解法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．x+y=1，ax2+by2=1，∴x0=221xx=bab，y0=221yy=1－221xx=baa．∴M（bab，baa）．∵kOM=22，∴b=2a．①∵OA⊥OB，∴11xy·22xy=－1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=bab1，y1y2=（1－x1）（1－x2），∴y1y2=1－（x1+x2）+x1x2=1－bab2+bab1=baa1．由∴（a+b）x2－2bx+b－1=0.∴bab1+baa1=0．∴a+b=2．②由①②得a=2（2－1），b=22（2－1）．∴所求方程为2（2－1）x2+22（2－1）y2=1．法2：(点差法)由ax1+by1=1,ax2+by2=1相减得12121212yyaxxxxbyy,即0012,2axababyb…下同法1．提炼方法：1．设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），借助韦达定理推出b=2a．．再由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,转换出a,b的又一关系式,2．点差法得b=2a．…【例2】(2005湖南)已知椭圆C：22ax＋22by＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e．直线,l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM＝λAB．（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；（Ⅱ）若43，△MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；（理科无此问）（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：aexy与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(bacabycxbyaxaexyaea这里得由．所以点M的坐标是（abc2,）．由).,(),(2aeaabeacABAM得即221eaabeacea解得．证法二：因为A、B分别是直线l：aexy与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是).,0(),0,(aea设M的坐标是),,(),(),,(0000aeayeaxABAMyx得由所以.)1(00ayeax因为点M在椭圆上，所以,1220220byax即.11)1(,1)()]1([22222222eebaaea所以,0)1()1(2224ee解得.1122ee即（Ⅱ）当43时，21c，所以.2ca由△MF1F2的周长为6，得.622ca所以.3,1,2222cabca椭圆方程为.13422yx（Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即.||211cPF设点F1到l的距离为d，由,1||1|0)(|||21221ceecaeacedPF得.1122eee所以.321,3122ee于是即当,32时△PF1F2为等腰三角形．解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是),(00yx，则.1)1(2,13.220102202200000eaeyceexacxeyecxy解得由|PF1|=|F1F2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222ceaecece两边同时除以4a2，化简得.1)1(2222eee从而.312e于是32112e．即当32时，△PF1F2为等腰三角形．【例3】(2005春上海)（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C的方程是12222byax)0(ba．设斜率为k的直线l，交椭圆C于AB、两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．解：（1）设椭圆的标准方程为12222byax，0ba，∴422ba，即椭圆的方程为142222bybx，∵点（2,2）在椭圆上，∴124422bb，解得42b或22b（舍），由此得82a，即椭圆的标准方程为14822yx．（2）设直线l的方程为mkxy，与椭圆C的交点A(11,yx)、B(22,yx)，则有12222byaxmkxy，解得02)(222222222bamakmxaxkab，∵0，∴2222kabm，即222222kabmkab．则222221212222212,2kabmbmkxmkxyykabkmaxx，∴AB中点M的坐标为22222222,kabmbkabkma．∴线段AB的中点M在过原点的直线022ykaxb上．（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和DC、，并分别取AB、CD的中点NM、，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A、1B和11DC、，并分别取11BA、11DC的中点11NM、，连接直线11NM，那么直线MN和11NM的交点O即为椭圆中心．【例4】（2006江西）如图,椭圆2222:1(0)xyQabab的右焦点为(,0)Fc,过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P为线段AB的中点．(1)求点P的轨迹H的方程;(2)若在Q的方程中,令221cossin,sin(0).2ab确定的值,使MAOA1M1N1D1C1NBDB1C原点距椭圆Q的右准线l最远．此时设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?解：如图(1)设椭圆2222:1xyQab上的点1,1()Axy、2,2()Bxy,又设P点坐标为(,)Pxy，则2222221122222222bxayabbxayab………………①1当AB不垂直x轴时，12,xx由①—②得22121221221222222()2()20,,0,(*)bxxxayyyyybxyxxayxcbxaybcx2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（*）．故所求点P的轨迹H的方程为：222220bxaybcx．(2)因为,椭圆Q右准线l方程是2axc,原点距椭圆Q的右准线l的距离为2ac,222222,1cossin,sin(0).21sincos2sin().241coscababac由于则2当时,上式达到最大值,所以当2时,原点距椭圆Q的右准线l最远．………………②此