2020年全国卷Ⅲ理数高考试题

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合{(,)|,,}Axyxyyx*N，{(,)|8}Bxyxy，则AB中元素的个数为A．2B．3C．4D．62．复数113i的虚部是A．310B．110C．110D．3103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,pppp，且411iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A．14230.1,0.4ppppB．14230.4,0.1ppppC．14230.2,0.3ppppD．14230.3,0.2pppp4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()It（t的单位：天）的Logistic模型：0.23(53)()=1etKIt，其中K为最大确诊病例数．当*()0.95ItK时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln193)A．60B．63C．66D．695．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：22(0)ypxp交于D，E两点，若ODOE⊥，则C的焦点坐标为A．1(,0)4B．1(,0)2C．(1,0)D．(2,0)6．已知向量a，b满足||5a，||6b，6ab，则cos,=aabA．3135B．1935C．1735D．19357．在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=A．19B．13C．12D．238．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A．6+42B．4+42C．6+23D．4+239．已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=A．–2B．–1C．1D．210．若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+1211．设双曲线C：22221xyab（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=A．1B．2C．4D．812．已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则A．abcB．bacC．bcaD．cab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件0201xyxyx，，，则32zxy的最大值为__________．14．262()xx的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．16．关于函数f（x）=1sinsinxx有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设数列{an}满足a1=3，134nnaan．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次400空气质量好空气质量不好附：K2=2)nadbcabcdacbd，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828．19．（12分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，点,EF分别在棱11,DDBB上，且12DEED，12BFFB．（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB，1AD，13AA，求二面角1AEFA的正弦值．20．（12分）已知椭圆222:1(05)25xyCmm的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且||||BPBQ，BPBQ，求APQ△的面积．21．（12分）设函数3()fxxbxc，曲线()yfx在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()fx有一个绝对值不大于1的零点，证明：()fx所有零点的绝对值都不大于1．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22223xttytt（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．（1）求||AB；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设a，b，c∈R，0abc，1abc．（1）证明：0abbcca；（2）用max{,,}abc表示a，b，c的最大值，证明：max{,,}abc≥34．